حاسبة المضروب

مضروب العدد الصحيح غير السالب n، الذي يُرمز له بالرمز n! هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو تساوي n. على سبيل المثال، 5! = 5 × 4 × 3 × 3 × 2 × 1 = 120. بحكم التعريف، 0! = 1.

0 يساوي 1. هذا اصطلاح رياضي يجعل العديد من الصيغ تعمل بشكل صحيح، بما في ذلك التوافيق والتباديل. وهي تمثل عدد طرق ترتيب العناصر الصفرية، وهي طريقة واحدة (لا تفعل شيئًا).

تنمو المضروبات أسرع من الدوال الأسية. يتضاعف كل مضروب تالٍ بعدد متزايد: 10! ≈ 3.6 مليون، 20! ≈ 2.4 كوينتيليون. هذا النمو السريع يقصر الحسابات العملية على الأعداد الصغيرة نسبيًا.

تُعد مضروبات العوامل ضرورية في علم التوليفات لحساب التباديل والتركيبات، ونظرية الاحتمالات، ومتسلسلة تايلور في حساب التفاضل والتكامل، ومجالات مختلفة من الإحصاء وخوارزميات علوم الكمبيوتر.

تُحسب التباديل باستخدام المضروب. عدد طرق ترتيب عناصر n هو n! لإيجاد تباديل r من عناصر n، استخدم P(n,r) = n!/(n-r)! على سبيل المثال، ترتيب 3 أحرف من 5 هو 5!! / 2! = 60 طريقة.

التباديل تأخذ في الاعتبار الترتيب (ABC = BAC مختلفان)، محسوبة على الصورة n!/(n-r)! أما التوافيق تتجاهل الترتيب (ABC = BAC)، وتُحسب على الصورة n!/(r!(n-r)! على سبيل المثال، اختيار 2 من 4 أحرف يعطي 12 تباديل ولكن 6 تركيبات فقط.

لا تُعرَّف مضروبات الأعداد الصحيحة السالبة في الرياضيات القياسية. تنطبق دالة المضروب فقط على الأعداد الصحيحة غير السالبة (0، 1، 2، 3...). بالنسبة للقيم السالبة أو غير السالبة، تُستخدم دالة جاما كامتداد.

يمكن للآلات الحاسبة القياسية حساب مضروب العدد حتى حوالي 170! قبل مواجهة أخطاء التجاوز. 170! ≈ 7.26 × 10^306. أبعد من ذلك، هناك حاجة إلى مكتبات متخصصة ذات دقة عشوائية. بالنسبة لمعظم التطبيقات العملية، نادرًا ما تكون هناك حاجة إلى مضروبات أعلى من 20!

تُعدّ مضروبات العوامل أساسية في الاحتمالات لعدّ النواتج. فغالباً ما تتضمن احتمالية الأحداث تركيبات C(n,r) = n!/(r!(n-r)! على سبيل المثال، يستخدم مضروب احتمالية توزيع ورق بوكر معين مضروباً لحساب إجمالي توزيعات الورق الممكنة والنتائج المواتية.