Факторен калкулатор

Факториалът на едно неотрицателно цяло число n, означен като n!, е произведението на всички цели положителни числа, по-малки или равни на n. Например 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. По дефиниция 0! = 1.

0! е равно на 1. Това е математическа конвенция, благодарение на която много формули работят правилно, включително комбинации и пермутации. Тя представлява броя на начините за подреждане на нулеви обекти, което е един начин (да не се прави нищо).

Факторните функции растат по-бързо от експоненциалните. Всеки следващ факториал се умножава с нарастващо число: 10! ≈ 3,6 милиона, 20! ≈ 2,4 квинтилиона. Този бърз растеж ограничава практическите изчисления до сравнително малки числа.

Факториалите са от съществено значение в комбинаториката за изчисляване на пермутации и комбинации, теорията на вероятностите, редиците на Тейлър в математиката, както и в различни области на статистиката и алгоритмите в компютърните науки.

Пермутациите се изчисляват с помощта на факториали. Броят на начините за подреждане на n обекта е n!. За да намерите пермутации на r обекта от n обекта, използвайте P(n,r) = n!/(n-r)!. Например, подреждането на 3 букви от 5 е 5!/2! = 60 начина.

Пермутациите отчитат реда (ABC и BAC са различни), изчислен като n!/(n-r)!. Комбинациите пренебрегват реда (ABC = BAC), изчислено като n!/(r!(n-r)!). Например, ако изберете 2 от 4 букви, ще получите 12 пермутации, но само 6 комбинации.

В стандартната математика не са дефинирани факториали за отрицателни цели числа. Функцията факториал се прилага само за неотрицателни цели числа (0, 1, 2, 3...). За отрицателни или нецелочислени стойности се използва функцията гама като разширение.

Стандартните калкулатори могат да изчисляват факториали до около 170!, преди да срещнат грешки при препълване. 170! ≈ 7.26 × 10^306. При надхвърляне на тази стойност са необходими специализирани библиотеки с произволна точност. За повечето практически приложения факториали над 20! са рядко необходими.

Факториалът е основен елемент във вероятностите за пресмятане на резултатите. Вероятността на събитията често включва комбинации C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Например вероятността за определена ръка на покер използва факториали, за да преброи всички възможни ръце и благоприятни резултати.