Faktorová kalkulačka

Faktoriál nezáporného celého čísla n, označovaný n!, je součin všech kladných celých čísel menších nebo rovných n. Například 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Podle definice je 0! = 1.

0! se rovná 1. Jedná se o matematickou konvenci, která umožňuje správné fungování mnoha vzorců, včetně kombinací a permutací. Představuje počet způsobů uspořádání nulových objektů, což je jeden způsob (nedělat nic).

Faktoriály rostou rychleji než exponenciální funkce. Každý další faktoriál se násobí rostoucím číslem: 10! ≈ 3,6 milionu, 20! ≈ 2,4 kvintilionu. Tento rychlý růst omezuje praktické výpočty na relativně malá čísla.

Faktoriály jsou nezbytné v kombinatorice pro výpočet permutací a kombinací, v teorii pravděpodobnosti, v Taylorových řadách v matematice a v různých oblastech statistiky a algoritmů v informatice.

Permutace se počítají pomocí faktoriálů. Počet způsobů uspořádání n objektů je n!. Chcete-li najít permutace r objektů z n objektů, použijte P(n,r) = n!/(n-r)!. Například uspořádání 3 písmen z 5 je 5!/2! = 60 způsobů.

Permutace zohledňují pořadí (ABC vs. BAC se liší), vypočtené jako n!/(n-r)!. Kombinace ignorují pořadí (ABC = BAC), počítáno jako n!/(r!(n-r)!). Například výběr 2 ze 4 písmen dává 12 permutací, ale pouze 6 kombinací.

Faktoriály nejsou ve standardní matematice definovány pro záporná celá čísla. Funkce faktoriál platí pouze pro nezáporná celá čísla (0, 1, 2, 3...). Pro záporné nebo neceločíselné hodnoty se jako rozšíření používá funkce gama.

Standardní kalkulačky mohou vypočítat faktoriály až do hodnoty 170!, než dojde k chybě přetečení. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Nad tento rámec jsou zapotřebí specializované knihovny s libovolnou přesností. Pro většinu praktických aplikací jsou faktoriály nad 20! potřeba jen zřídka.

Faktoriály jsou v pravděpodobnosti základem pro počítání výsledků. Pravděpodobnost událostí často zahrnuje kombinace C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Například pravděpodobnost určitého pokerového rozdání využívá faktoriály k počítání celkového počtu možných rozdání a příznivých výsledků.