Faktorisk lommeregner

Faktoriet af et ikke-negativt heltal n, betegnet n!, er produktet af alle positive heltal, der er mindre end eller lig med n. For eksempel er 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per definition er 0! = 1.

0! er lig med 1. Dette er en matematisk konvention, som får mange formler til at fungere korrekt, herunder kombinationer og permutationer. Det repræsenterer antallet af måder at arrangere nul objekter på, hvilket er én måde (ikke at gøre noget).

Faktortal vokser hurtigere end eksponentielle funktioner. Hver efterfølgende faktorial multipliceres med et stigende tal: 10! ≈ 3,6 millioner, 20! ≈ 2,4 kvintillioner. Denne hurtige vækst begrænser praktiske beregninger til relativt små tal.

Faktortal er vigtige i kombinatorik til beregning af permutationer og kombinationer, sandsynlighedsteori, Taylor-serier i matematik og forskellige områder inden for statistik og datalogiske algoritmer.

Permutationer beregnes ved hjælp af faktortal. Antallet af måder at arrangere n objekter på er n! For at finde permutationer af r objekter ud fra n objekter skal du bruge P(n,r) = n!/(n-r)! For eksempel er der 5!/2! = 60 måder at arrangere 3 bogstaver ud af 5.

Permutationer tager højde for rækkefølgen (ABC vs BAC er forskellige), beregnet som n!/(n-r)! Kombinationer ignorerer rækkefølgen (ABC = BAC), beregnet som n!/(r!(n-r)!). Hvis man f.eks. vælger 2 ud af 4 bogstaver, får man 12 permutationer, men kun 6 kombinationer.

Fakulteter er ikke defineret for negative heltal i standardmatematikken. Faktorfunktionen gælder kun for ikke-negative heltal (0, 1, 2, 3...). For negative eller ikke-heltallige værdier bruges gammafunktionen som en udvidelse.

Standardregnemaskiner kan beregne faktorialer op til ca. 170! før der opstår overløbsfejl. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Ud over dette er der brug for specialiserede biblioteker med vilkårlig præcision. I de fleste praktiske anvendelser er der sjældent brug for faktortal over 20!

Faktortal er grundlæggende i sandsynlighedsregning, når man skal tælle udfald. Sandsynligheden for begivenheder involverer ofte kombinationer C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). For eksempel bruger sandsynligheden for en bestemt pokerhånd faktortal til at tælle det samlede antal mulige hænder og gunstige udfald.