Faktorieller Rechner

Die Fakultät einer nichtnegativen ganzen Zahl n, bezeichnet als n!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen kleiner oder gleich n. Zum Beispiel ist 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per Definition ist 0! = 1.

0! ist gleich 1. Dies ist eine mathematische Konvention, die dafür sorgt, dass viele Formeln korrekt funktionieren, einschließlich Kombinationen und Permutationen. Sie steht für die Anzahl der Möglichkeiten, Null-Objekte anzuordnen, was eine Möglichkeit ist (nichts tun).

Faktorielle Funktionen wachsen schneller als Exponentialfunktionen. Jede aufeinanderfolgende Fakultät multipliziert mit einer steigenden Zahl: 10! ≈ 3,6 Millionen, 20! ≈ 2,4 Quintillionen. Dieses schnelle Wachstum beschränkt die praktischen Berechnungen auf relativ kleine Zahlen.

Faktorielle Zahlen sind in der Kombinatorik für die Berechnung von Permutationen und Kombinationen, in der Wahrscheinlichkeitstheorie, für Taylor-Reihen in der Infinitesimalrechnung sowie in verschiedenen Bereichen der Statistik und für Algorithmen in der Informatik unerlässlich.

Permutationen werden mit Faktorzahlen berechnet. Die Anzahl der Möglichkeiten, n Objekte anzuordnen, ist n! Um Permutationen von r Objekten aus n Objekten zu finden, verwendet man P(n,r) = n!/(n-r)! Die Anordnung von 3 Buchstaben aus 5 ergibt zum Beispiel 5!/2! = 60 Möglichkeiten.

Permutationen berücksichtigen die Reihenfolge (ABC und BAC sind unterschiedlich), berechnet als n!/(n-r)! Kombinationen ignorieren die Reihenfolge (ABC = BAC), berechnet als n!/(r!(n-r)!). Zum Beispiel ergibt die Auswahl von 2 aus 4 Buchstaben 12 Permutationen, aber nur 6 Kombinationen.

In der Standardmathematik sind Faktoren für negative ganze Zahlen nicht definiert. Die Fakultät gilt nur für nichtnegative ganze Zahlen (0, 1, 2, 3...). Für negative oder nicht-ganzzahlige Werte wird die Gamma-Funktion als Erweiterung verwendet.

Herkömmliche Taschenrechner können Faktorzahlen bis etwa 170! berechnen, bevor sie auf Überlauffehler stoßen. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Darüber hinaus werden spezielle Bibliotheken mit beliebiger Genauigkeit benötigt. Für die meisten praktischen Anwendungen werden Faktorzahlen über 20! nur selten benötigt.

Faktoren sind in der Wahrscheinlichkeitsrechnung grundlegend für das Zählen von Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen beinhaltet oft Kombinationen C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Bei der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pokerblatts zum Beispiel werden Faktoren verwendet, um die möglichen Blätter und günstigen Ergebnisse zu zählen.