GCD & LCM-Rechner

GCD, auch Greatest Common Factor (GCF) genannt, ist die größte positive ganze Zahl, die beide Zahlen ohne einen Rest teilt. Zum Beispiel ist der GCD von 12 und 18 gleich 6, weil 6 die größte Zahl ist, die beide gleichmäßig teilt.

LCM ist die kleinste positive ganze Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist. Zum Beispiel ist LCM von 4 und 6 gleich 12, weil 12 die kleinste Zahl ist, die sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar ist.

Für zwei beliebige positive ganze Zahlen a und b gilt: GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b. Mit dieser Beziehung können Sie LCM berechnen, wenn Sie den GCD kennen, oder umgekehrt.

GCD ist wichtig für die Vereinfachung von Brüchen (Zähler und Nenner durch ihre GCD teilen), die Lösung diophantischer Gleichungen und verschiedene Anwendungen in der Kryptographie und Informatik.

Um einen Bruch zu vereinfachen, teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner durch ihren GCD. Beispiel: Um 24/36 zu vereinfachen: Finde den GCD(24,36) = 12, dann teile beide durch 12, um 2/3 zu erhalten. So erhält man den Bruch in seinen kleinsten Termen.

LCM wird verwendet, um sich wiederholende Ereignisse zu synchronisieren. Beispiele hierfür sind die Feststellung, wann zwei Busse zur gleichen Zeit ankommen, die Bestimmung des gemeinsamen Nenners bei der Addition von Brüchen, die Planung von wiederkehrenden Aufgaben oder die Planung, wann Zahnräder mit unterschiedlichen Zahnzahlen ineinander greifen.

Zerlege jede Zahl in Primfaktoren und multipliziere dann die gemeinsamen Faktoren mit den kleinsten Potenzen. Zum Beispiel: 48 = 2^4 × 3 und 18 = 2 × 3^2. Gemeinsame Faktoren sind 2^1 und 3^1, also GCD = 2 × 3 = 6.

Zerlege jede Zahl in Primfaktoren und multipliziere dann alle Faktoren mit den höchsten Potenzen. Für 12 = 2^2 × 3 und 18 = 2 × 3^2, nimm 2^2 und 3^2, also LCM = 4 × 9 = 36.

Der euklidische Algorithmus findet den GCD effizient durch wiederholtes Dividieren und Reste bilden. Für GCD(48,18): 48÷18=2 Rest 12, 18÷12=1 Rest 6, 12÷6=2 Rest 0. Wenn der Rest 0 ist, ist der letzte Teiler (6) der GCD.