Υπολογιστής παραγοντικού

Το παραγοντικό ενός μη αρνητικού ακεραίου n, που συμβολίζεται με n!, είναι το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων του n. Για παράδειγμα, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Εξ ορισμού, 0! = 1.

0! ισούται με 1. Αυτή είναι μια μαθηματική σύμβαση που κάνει πολλούς τύπους να λειτουργούν σωστά, συμπεριλαμβανομένων των συνδυασμών και των μεταθέσεων. Αντιπροσωπεύει τον αριθμό των τρόπων για να τοποθετήσετε μηδέν αντικείμενα, που είναι ένας τρόπος (να μην κάνετε τίποτα).

Οι παραγοντικές αυξάνονται γρηγορότερα από τις εκθετικές συναρτήσεις. Κάθε διαδοχική παραγοντική πολλαπλασιάζεται με έναν αυξανόμενο αριθμό: 10! ≈ 3,6 εκατομμύρια, 20! ≈ 2,4 εκατομμυριοστά. Αυτή η ταχεία αύξηση περιορίζει τους πρακτικούς υπολογισμούς σε σχετικά μικρούς αριθμούς.

Τα παραγοντικά είναι απαραίτητα στη συνδυαστική για τον υπολογισμό μεταθέσεων και συνδυασμών, στη θεωρία πιθανοτήτων, στις σειρές Taylor στον λογισμό και σε διάφορους τομείς της στατιστικής και των αλγορίθμων της επιστήμης των υπολογιστών.

Οι αυξομειώσεις υπολογίζονται με τη χρήση παραγοντικών. Ο αριθμός των τρόπων για να τοποθετηθούν n αντικείμενα είναι n!. Για να βρείτε μεταθέσεις r αντικειμένων από n αντικείμενα, χρησιμοποιήστε P(n,r) = n!/(n-r)!. Για παράδειγμα, η διάταξη 3 γραμμάτων από το 5 είναι 5!/2! = 60 τρόποι.

Οι αντιμεταθέσεις λαμβάνουν υπόψη τη σειρά (ABC vs BAC είναι διαφορετικές), που υπολογίζεται ως n!/(n-r)!. Οι συνδυασμοί αγνοούν τη σειρά (ABC = BAC), υπολογίζονται ως n!/(r!(n-r)!). Για παράδειγμα, η επιλογή 2 από 4 γράμματα δίνει 12 μεταθέσεις αλλά μόνο 6 συνδυασμούς.

Τα παραγοντικά δεν ορίζονται για αρνητικούς ακέραιους αριθμούς στα συνήθη μαθηματικά. Η παραγοντική συνάρτηση εφαρμόζεται μόνο σε μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς (0, 1, 2, 3...). Για αρνητικές ή μη ακέραιες τιμές, χρησιμοποιείται η συνάρτηση γάμμα ως επέκταση.

Οι συνήθεις αριθμομηχανές μπορούν να υπολογίσουν παραγοντικά μέχρι περίπου 170! πριν αντιμετωπίσουν σφάλματα υπερχείλισης. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Πέρα από αυτό, απαιτούνται εξειδικευμένες βιβλιοθήκες αυθαίρετης ακρίβειας. Για τις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές, παραγοντικά πάνω από 20! απαιτούνται σπάνια.

Τα παραγοντικά είναι θεμελιώδη στην πιθανότητα για την καταμέτρηση των αποτελεσμάτων. Η πιθανότητα γεγονότων συχνά περιλαμβάνει συνδυασμούς C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Για παράδειγμα, η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου χεριού πόκερ χρησιμοποιεί παραγοντικά για την καταμέτρηση των συνολικών πιθανών χεριών και των ευνοϊκών αποτελεσμάτων.