Calculadora factorial

El factorial de un entero no negativo n, denotado n!, es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que n. Por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por definición, 0! = 1.

0! es igual a 1. Se trata de una convención matemática que hace que muchas fórmulas funcionen correctamente, incluidas las combinaciones y permutaciones. Representa el número de maneras de disponer cero objetos, que es una manera (no hacer nada).

Los factoriales crecen más rápido que las funciones exponenciales. Cada factorial sucesivo multiplica por un número creciente: ¡10! ≈ 3,6 millones, 20! ≈ 2,4 quintillones. Este rápido crecimiento limita los cálculos prácticos a números relativamente pequeños.

Los factoriales son esenciales en combinatoria para calcular permutaciones y combinaciones, teoría de la probabilidad, series de Taylor en cálculo y diversas áreas de estadística y algoritmos informáticos.

Las permutaciones se calculan mediante factoriales. El número de maneras de ordenar n objetos es n!. ¡Para hallar permutaciones de r objetos a partir de n objetos, usa P(n,r) = ¡n!/(n-r)! Por ejemplo, ordenar 3 letras a partir de 5 es 5!/2! = 60 maneras.

Las permutaciones tienen en cuenta el orden (ABC y BAC son diferentes) y se calculan como n!/(n-r)! Las combinaciones ignoran el orden (ABC = BAC) y se calculan como n!/(r!(n-r)!). Por ejemplo, seleccionar 2 de 4 letras da 12 permutaciones pero sólo 6 combinaciones.

Los factoriales no están definidos para números enteros negativos en las matemáticas estándar. La función factorial sólo se aplica a enteros no negativos (0, 1, 2, 3...). Para valores negativos o no enteros, se utiliza la función gamma como extensión.

Las calculadoras estándar pueden calcular factoriales hasta aproximadamente 170! antes de encontrar errores de desbordamiento. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Más allá de esto, se necesitan bibliotecas especializadas de precisión arbitraria. Para la mayoría de las aplicaciones prácticas, los factoriales por encima de 20! son raramente necesarios.

Los factoriales son fundamentales en probabilidad para contar resultados. La probabilidad de los sucesos a menudo implica combinaciones C(n,r) = ¡n!/(r!(n-r)!). Por ejemplo, la probabilidad de una mano de póquer específica utiliza factoriales para contar el total de manos posibles y los resultados favorables.