Faktorija kalkulaator

Mittenegatiivse täisarvu n faktoriaal, mida tähistatakse n!, on kõigi positiivsete täisarvude korrutis, mis on väiksemad või võrdsed n-ga. Näiteks 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Määratluse järgi on 0! = 1.

0! võrdub 1. See on matemaatiline konventsioon, mis muudab paljud valemid, sealhulgas kombinatsioonid ja permutatsioonid, õigesti toimivaks. See tähistab nullide objektide paigutamise viiside arvu, mis on üks viis (mitte midagi teha).

Faktoriivid kasvavad kiiremini kui eksponentsiaalfunktsioonid. Iga järgnev faktoriaal korrutatakse kasvava arvuga: 10! ≈ 3,6 miljonit, 20! ≈ 2,4 kvintmiljonit. Selline kiire kasv piirab praktilisi arvutusi suhteliselt väikeste arvudega.

Faktoriivid on olulised kombinatoorikas permutatsioonide ja kombinatsioonide arvutamisel, tõenäosusteoorias, Taylori jadade arvutamisel ning erinevates statistika ja arvutiteaduse algoritmide valdkondades.

Permutatsioonid arvutatakse faktoriaalide abil. Võimaluste arv n objekti paigutamiseks on n!. Et leida n objektist r objekti permutatsiooni, kasutatakse P(n,r) = n!/(n-r)!. Näiteks 3 tähe paigutamine 5-st on 5!/2! = 60 võimalust.

Permutatsioonid arvestavad järjestust (ABC vs. BAC on erinevad), arvutatakse n!/(n-r)!. Kombinatsioonid ei arvesta järjekorda (ABC = BAC), arvutatakse n!/(r!(n-r)!). Näiteks, valides 4 tähest 2, saadakse 12 permutatsiooni, kuid ainult 6 kombinatsiooni.

Standardmatemaatikas ei ole negatiivsete täisarvude jaoks faktoriaalid defineeritud. Faktoriaali funktsioon kehtib ainult mittenegatiivsete täisarvude (0, 1, 2, 3...) kohta. Negatiivsete või mitte täisarvuliste väärtuste puhul kasutatakse laiendina gammafunktsiooni.

Tavalised kalkulaatorid suudavad arvutada faktoriaalid kuni umbes 170! enne ülevooluvigade tekkimist. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Sellest kaugemale on vaja spetsiaalseid suvalise täpsusega raamatukogusid. Enamiku praktiliste rakenduste puhul on faktoriente üle 20! harva vaja.

Faktoriivid on tõenäosuse puhul tulemuste loendamiseks väga olulised. Sündmuste tõenäosus hõlmab sageli kombinatsioone C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Näiteks konkreetse pokkeri käe tõenäosuse arvutamisel kasutatakse faktoriaale võimalike käte ja soodsate tulemuste kokkuarvamiseks.