Kertolaskin

Ei-negatiivisen kokonaisluvun n faktoriaaliluku on kaikkien positiivisten kokonaislukujen tulo, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin n. Esimerkiksi 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Määritelmän mukaan 0! = 1.

0! on yhtä kuin 1. Tämä on matemaattinen konventio, joka saa monet kaavat toimimaan oikein, myös yhdistelmät ja permutaatiot. Se kuvaa nollan esineen järjestämistapojen lukumäärää, joka on yksi tapa (ei tehdä mitään).

Faktoriaalit kasvavat nopeammin kuin eksponenttifunktiot. Jokainen peräkkäinen faktoriaalifunktio kertoo yhä suuremmalla luvulla: 10! ≈ 3,6 miljoonaa, 20! ≈ 2,4 kvintiljoonaa. Tämä nopea kasvu rajoittaa käytännön laskutoimitukset suhteellisen pieniin lukuihin.

Faktoriaalit ovat välttämättömiä kombinatoriikassa permutaatioiden ja yhdistelmien laskemisessa, todennäköisyysteoriassa, Taylorin sarjoissa laskennassa sekä useilla tilastotieteen ja tietojenkäsittelytieteen algoritmien aloilla.

Permutaatiot lasketaan käyttämällä faktoriaaleja. Tapausten lukumäärä, jolla n esinettä voidaan järjestää, on n!. Jos haluat löytää r objektin permutaatiot n objektista, käytä P(n,r) = n!/(n-r)!. Esimerkiksi 3 kirjaimen järjestäminen 5:stä on 5!/2! = 60 tapaa.

Permutaatioissa huomioidaan järjestys (ABC vs. BAC ovat erilaisia), laskettuna n!/(n-r)!. Yhdistelmät eivät ota huomioon järjestystä (ABC = BAC), laskettuna n!/(r!(n-r)!). Esimerkiksi valitsemalla 2 kirjainta 4 kirjaimesta saadaan 12 permutaatiota, mutta vain 6 yhdistelmää.

Faktoriaaleja ei ole määritelty negatiivisille kokonaisluvuille tavallisessa matematiikassa. Faktoriaali-funktiota sovelletaan vain ei-negatiivisille kokonaisluvuille (0, 1, 2, 3...). Negatiivisille tai ei-kokonaisluvuille käytetään laajennuksena gammafunktiota.

Tavalliset laskimet pystyvät laskemaan faktoriaalit noin 170! asti ennen ylivuotovirheitä. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Tätä suuremmissa tapauksissa tarvitaan erikoistuneita mielivaltaisen tarkkuuden kirjastoja. Useimmissa käytännön sovelluksissa yli 20! faktorilukuja tarvitaan harvoin.

Faktoriaalit ovat perustavanlaatuisia todennäköisyydessä tulosten laskemisessa. Tapahtumien todennäköisyyteen liittyy usein yhdistelmiä C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Esimerkiksi tietyn pokerikäden todennäköisyydessä käytetään faktoriaaleja mahdollisten käsien ja suotuisten lopputulosten laskemiseen.