Calculatrice factorielle

La factorielle d'un entier non négatif n, notée n !, est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n. Par exemple, 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Par définition, 0 ! = 1.

0 ! est égal à 1. Il s'agit d'une convention mathématique qui permet à de nombreuses formules de fonctionner correctement, y compris les combinaisons et les permutations. Elle représente le nombre de façons de disposer zéro objet, c'est-à-dire une seule façon (ne rien faire).

Les factorielles croissent plus rapidement que les fonctions exponentielles. Chaque factorielle successive est multipliée par un nombre croissant : 10 ! ≈ 3,6 millions, 20 ! ≈ 2,4 quintillions. Cette croissance rapide limite les calculs pratiques à des nombres relativement petits.

Les factorielles sont essentielles en combinatoire pour le calcul des permutations et des combinaisons, la théorie des probabilités, les séries de Taylor en calcul, et divers domaines des statistiques et des algorithmes informatiques.

Les permutations sont calculées à l'aide de factoriels. Le nombre de façons de disposer n objets est n !. Pour trouver des permutations de r objets à partir de n objets, utilisez P(n,r) = n!/(n-r) ! Par exemple, pour disposer 3 lettres à partir de 5, il y a 5!/2!=60 possibilités.

Les permutations tiennent compte de l'ordre (ABC et BAC sont différents), calculé comme n!/(n-r) ! Les combinaisons ignorent l'ordre (ABC = BAC), calculé comme n!/(r !(n-r) !). Par exemple, en choisissant 2 lettres parmi 4, on obtient 12 permutations mais seulement 6 combinaisons.

Les mathématiques standard ne définissent pas de factorielle pour les entiers négatifs. La fonction factorielle ne s'applique qu'aux entiers non négatifs (0, 1, 2, 3...). Pour les valeurs négatives ou non entières, la fonction gamma est utilisée comme extension.

Les calculatrices standard peuvent calculer des factorielles jusqu'à environ 170 ! avant de rencontrer des erreurs de débordement. 170 ! ≈ 7.26 × 10^306. Au-delà, des bibliothèques spécialisées en précision arbitraire sont nécessaires. Pour la plupart des applications pratiques, les factoriels supérieurs à 20 ! sont rarement nécessaires.

Les factorielles sont fondamentales en probabilités pour compter les résultats. La probabilité des événements implique souvent des combinaisons C(n,r) = n!/(r !(n-r) !). Par exemple, la probabilité d'une main de poker spécifique utilise des factoriels pour compter le nombre total de mains possibles et les résultats favorables.