# Calculatrice de permutations et combinaisons

Comptez les arrangements et les sélections de r éléments parmi n avec des résultats exacts : permutations nPr, combinaisons nCr, permutations avec répétition n^r et combinaisons avec répétition C(n + r - 1, r). Saisissez des nombres entiers jusqu’à 1000 et obtenez chaque dénombrement sous forme d’entier exact ; les résultats très longs sont aussi affichés en notation scientifique avec leur nombre de chiffres. Utile pour les probabilités, les chances de gagner à la loterie, les mots de passe et les exercices de combinatoire.

## Foire aux questions

### Quelle est la différence entre une permutation et une combinaison ?

Une permutation compte les arrangements ordonnés : choisir A puis B est différent de choisir B puis A. Une combinaison compte les sélections non ordonnées, où seul l’ensemble choisi importe. C’est pourquoi nPr est toujours supérieur ou égal à nCr, et nPr est égal à nCr multiplié par la factorielle de r.

### Quelles formules sont utilisées ?

nPr = factorial(n) / factorial(n - r), nCr = nPr / factorial(r), les permutations avec répétition sont n^r et les combinaisons avec répétition sont C(n + r - 1, r). Les résultats sont calculés avec une arithmétique entière exacte, jamais avec des factorielles en virgule flottante. Les formules sont indiquées sous les résultats.

### Quand faut-il autoriser la répétition ?

Utilisez les permutations avec répétition lorsque les éléments peuvent être réutilisés et que l’ordre compte, comme pour un code PIN à 4 chiffres composé parmi 10 chiffres, qui offre 10^4 = 10,000 possibilités. Utilisez les combinaisons avec répétition lorsque les éléments peuvent être réutilisés, mais que l’ordre ne compte pas, comme pour choisir 3 boules parmi 5 parfums de glace, ce qui donne C(7, 3) = 35.

### Que se passe-t-il lorsque r est supérieur à n ?

Sans répétition, vous ne pouvez pas choisir plus d’éléments qu’il n’en existe ; nPr et nCr valent donc 0. Avec répétition, r peut dépasser n, et les deux décomptes avec répétition sont tout de même calculés. Par exemple, choisir 2 éléments 5 fois avec répétition donne 2^5 = 32 résultats ordonnés.

### Quelles sont les valeurs maximales de n et r ?

Les deux peuvent être des nombres entiers compris entre 0 et 1000. Les résultats peuvent tout de même être énormes, car 1000^1000 comporte 3001 chiffres ; l’outil les calcule donc avec des entiers de précision arbitraire. Les valeurs de plus de 100 chiffres sont affichées en notation scientifique avec leur nombre exact de chiffres.

### Comment calculer les chances de gagner à la loterie ?

Pour une loterie qui tire 6 numéros parmi 49 sans tenir compte de l’ordre, saisissez n = 49 et r = 6, puis consultez nCr, qui vaut 13,983,816. Avec un seul billet, votre chance de trouver les six numéros est de 1 sur ce nombre. Ajoutez les numéros bonus en multipliant par leurs propres combinaisons.

### Que se passe-t-il lorsqu’on ne choisit aucun élément ?

Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 et il n’existe qu’une seule façon de ne rien choisir ; ainsi, nP0 = nC0 = 1 pour tout n. De même, n^0 = 1, y compris 0^0, conformément à la convention usuelle en combinatoire. L’outil respecte ces conventions.

### Pourquoi les résultats de nCr sont-ils symétriques ?

Choisir r éléments à prendre revient à choisir n - r éléments à laisser, donc C(n, r) = C(n, n - r). Par exemple, C(10, 3) et C(10, 7) valent tous deux 120. L’outil exploite cette symétrie pour calculer plus rapidement les grandes combinaisons.

### Puis-je utiliser des nombres décimaux ou négatifs ?

Non, n et r doivent être des nombres entiers positifs ou nuls, car ils comptent des éléments. Les valeurs décimales ou négatives sont refusées avec un message. Pour la fonction gamma et les factorielles non entières, utilisez la calculatrice scientifique.

### Quelle est la précision des résultats ?

Chaque décompte est exact au dernier chiffre, car l’outil multiplie et divise des entiers de précision arbitraire. Les résultats comportant jusqu’à 100 chiffres sont affichés en entier. Les résultats plus longs affichent leurs premiers chiffres sous forme de puissance de dix, ainsi que le nombre total de chiffres.

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