Faktorális számológép

Az n nemnegatív egész szám faktoriálisa, amelyet n! -nek jelölünk, az n-nél kisebb vagy azzal egyenlő pozitív egész számok szorzata. Például 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Definíció szerint 0! = 1.

0! egyenlő 1. Ez egy matematikai konvenció, amelynek köszönhetően számos képlet helyesen működik, beleértve a kombinációkat és a permutációkat is. A nulla objektum elrendezésének módjainak számát jelöli, ami egyféleképpen lehetséges (ne csinálj semmit).

A faktoriálisok gyorsabban nőnek, mint az exponenciális függvények. Minden egyes egymást követő faktoriális egyre nagyobb számmal szorozódik: 10! ≈ 3,6 millió, 20! ≈ 2,4 kvintillió. Ez a gyors növekedés a gyakorlati számításokat viszonylag kis számokra korlátozza.

A faktoriálisok nélkülözhetetlenek a kombinatorikában a permutációk és kombinációk kiszámításához, a valószínűségelméletben, a Taylor-sorozatokban a számtanban, valamint a statisztika és a számítástechnikai algoritmusok különböző területein.

A permutációkat faktoriálisok segítségével számítják ki. Az n tárgy elrendezésének módjainak száma n!. Ha n tárgyból r tárgyak permutációit szeretnénk megtalálni, használjuk a P(n,r) = n!/(n-r)! értéket. Például 3 betű elrendezése 5-ből 5!/2! = 60 módon lehetséges.

A permutációk figyelembe veszik a sorrendet (ABC vs. BAC különböző), számítása n!/(n-r)!. A kombinációk figyelmen kívül hagyják a sorrendet (ABC = BAC), számításuk n!/(r!(n-r)!). Például 4 betűből 2 kiválasztása 12 permutációt ad, de csak 6 kombinációt.

A standard matematikában a negatív egész számokra nem definiálnak faktoriálisokat. A faktoriális függvény csak a nem negatív egész számokra (0, 1, 2, 3...) alkalmazható. Negatív vagy nem egész számok esetén a gamma függvényt használjuk kiterjesztésként.

A hagyományos számológépek körülbelül 170! értékig képesek faktoriális számításokat végezni, mielőtt túlcsordulási hibával találkoznának. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Ezen túlmenően speciális, tetszőleges pontosságú könyvtárakra van szükség. A legtöbb gyakorlati alkalmazásban ritkán van szükség 20! feletti faktoriálisokra.

A faktoriálisok alapvetőek a valószínűségszámításban az eredmények számolásához. Az események valószínűsége gyakran tartalmaz kombinációkat C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Például egy adott pókerkéz valószínűsége a faktoriálisokat használja az összes lehetséges kéz és a kedvező kimenetel megszámlálásához.