Calcolatrice fattoriale

Il fattoriale di un numero intero non negativo n, indicato con n!, è il prodotto di tutti i numeri interi positivi minori o uguali a n. Ad esempio, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per definizione, 0! = 1.

0! equivale a 1. Si tratta di una convenzione matematica che fa funzionare correttamente molte formule, comprese le combinazioni e le permutazioni. Rappresenta il numero di modi per disporre zero oggetti, ovvero un modo (non fare nulla).

I fattoriali crescono più velocemente delle funzioni esponenziali. Ogni fattoriale successivo si moltiplica per un numero crescente: 10! ≈ 3,6 milioni, 20! ≈ 2,4 quintilioni. Questa rapida crescita limita i calcoli pratici a numeri relativamente piccoli.

I fattoriali sono essenziali in combinatoria per il calcolo di permutazioni e combinazioni, nella teoria della probabilità, nelle serie di Taylor nel calcolo e in varie aree della statistica e degli algoritmi informatici.

Le permutazioni si calcolano con i fattoriali. Il numero di modi di disporre n oggetti è n!. Per trovare le permutazioni di r oggetti a partire da n oggetti, si usa P(n,r) = n!/(n-r)! Per esempio, disporre 3 lettere da 5 è 5!/2! = 60 modi.

Le permutazioni considerano l'ordine (ABC e BAC sono diversi), calcolato come n!/(n-r)! Le combinazioni ignorano l'ordine (ABC = BAC), calcolato come n!/(r!(n-r)!). Ad esempio, selezionando 2 tra 4 lettere si ottengono 12 permutazioni ma solo 6 combinazioni.

I fattoriali non sono definiti per gli interi negativi nella matematica standard. La funzione fattoriale si applica solo ai numeri interi non negativi (0, 1, 2, 3...). Per i valori negativi o non interi, si utilizza la funzione gamma come estensione.

Le calcolatrici standard possono calcolare fattoriali fino a circa 170! prima di incontrare errori di overflow. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Oltre questo limite, sono necessarie librerie specializzate in precisione arbitraria. Per la maggior parte delle applicazioni pratiche, i fattoriali superiori a 20! sono raramente necessari.

I fattoriali sono fondamentali in probabilità per il conteggio dei risultati. La probabilità degli eventi spesso comporta combinazioni C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Ad esempio, la probabilità di una specifica mano di poker utilizza i fattoriali per contare il totale delle mani possibili e i risultati favorevoli.