Calcolatrice GCD e LCM

Il GCD, chiamato anche Greatest Common Factor (GCF), è il più grande numero intero positivo che divide entrambi i numeri senza resto. Ad esempio, il GCD di 12 e 18 è 6 perché 6 è il numero più grande che divide entrambi in modo uniforme.

LCM è il più piccolo numero intero positivo divisibile per entrambi i numeri. Ad esempio, la LCM di 4 e 6 è 12 perché 12 è il più piccolo numero divisibile sia per 4 che per 6.

Per due numeri interi positivi a e b: GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b. Questa relazione permette di calcolare LCM se si conosce il GCD, o viceversa.

Il GCD è essenziale per semplificare le frazioni (dividere il numeratore e il denominatore per il loro GCD), per risolvere le equazioni diofantee e per varie applicazioni in crittografia e informatica.

Per semplificare una frazione, dividere il numeratore e il denominatore per il loro GCD. Ad esempio, per semplificare 24/36: trovare GCD(24,36) = 12, quindi dividere entrambi per 12 per ottenere 2/3. In questo modo si ottiene la frazione nei suoi termini più bassi.

L'LCM viene utilizzato per sincronizzare eventi che si ripetono. Tra gli esempi vi sono la ricerca di due autobus che arrivano alla stessa ora, la determinazione di denominatori comuni per l'aggiunta di frazioni, la programmazione di attività ricorrenti o la pianificazione dell'allineamento di ingranaggi con un diverso numero di denti.

Scomporre ogni numero in fattori primi, quindi moltiplicare i fattori comuni con le potenze più basse. Ad esempio, 48 = 2^4 × 3 e 18 = 2 × 3^2. I fattori comuni sono 2^1 e 3^1, quindi GCD = 2 × 3 = 6.

Scomporre ogni numero in fattori primi, quindi moltiplicare tutti i fattori utilizzando le potenze più alte. Per 12 = 2^2 × 3 e 18 = 2 × 3^2, prendere 2^2 e 3^2, quindi LCM = 4 × 9 = 36.

L'algoritmo euclideo trova in modo efficiente il GCD dividendo e prendendo ripetutamente i resti. Per GCD(48,18): 48÷18=2 resto 12, 18÷12=1 resto 6, 12÷6=2 resto 0. Quando il resto è 0, l'ultimo divisore (6) è il GCD.