階乗計算機

例えば、5！＝5×4×3×2×1＝120である。定義上、0!

0は1に等しい。これは、組み合わせや順列など、多くの数式を正しく機能させる数学的な慣例である。これは、ゼロのオブジェクトを並べる方法の数を表し、それは1つの方法（何もしない）である。

階乗は指数関数よりも速く成長する。累乗は、10！≒360万、20!この急速な成長は、実用的な計算を比較的小さな数に制限する。

階乗は、順列や組合せを計算する組合せ論、確率論、微積分のテイラー級数、統計学やコンピュータ・サイエンスのアルゴリズムのさまざまな分野で不可欠である。

順列は階乗を使って計算する。n個の物体の並べ方の数はn!n個の物体からr個の物体の順列を求めるには、P(n,r) = n!/(n-r)!例えば、5から3文字を並べると、5!/2!=60通りである。

順列は順序を考慮し（ABCとBACは異なる）、n！/(n-r)！として計算される。組み合わせは順序を無視し（ABC = BAC）、n！/(r!(n-r)!)として計算される。例えば、4文字から2文字を選ぶと、12通りの順列が得られるが、組み合わせは6通りしかない。

階乗は，標準数学では負の整数に対しては定義されていない．階乗関数は非負整数（0, 1, 2, 3...）にのみ適用される。負の値や整数でない値に対しては，拡張としてガンマ関数が使われる．

標準的な電卓は、オーバーフローエラーに遭遇する前に、約170！までの階乗を計算することができます。170! ≈ 7.26 × 10^306.それ以上は、専用の任意精度ライブラリが必要である。ほとんどの実用的なアプリケーションでは、20!

階乗は、結果を数えるための確率の基本である。事象の確率は、しばしばC(n,r) = n!/(r!(n-r)!) の組み合わせを含む。例えば、特定のポーカーハンドの確率は、可能性のあるハンドと有利な結果の合計をカウントするために階乗を使用します。