Faktorinė skaičiuoklė

Neigiamo sveikojo skaičiaus n faktorialas, žymimas n!, yra visų teigiamų sveikųjų skaičių, mažesnių arba lygių n, sandauga. Pavyzdžiui, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Pagal apibrėžimą 0! = 1.

0! lygus 1. Tai yra matematinė konvencija, leidžianti teisingai naudoti daugelį formulių, įskaitant derinius ir permutacijas. Ji rodo, kiek būdų galima išdėstyti nulinius objektus, o tai yra vienas būdas (nieko nedaryti).

Faktoriai auga greičiau nei eksponentinės funkcijos. Kiekvienas paskesnis faktorialas dauginamas iš vis didesnio skaičiaus: 10! ≈ 3,6 milijono, 20! ≈ 2,4 kvintilijono. Toks spartus augimas apriboja praktinius skaičiavimus iki santykinai mažų skaičių.

Faktoriai yra labai svarbūs kombinatorikoje skaičiuojant permutacijas ir kombinacijas, tikimybių teorijoje, Teiloro eilutėse skaičiavimuose, įvairiose statistikos ir informatikos algoritmų srityse.

Permutacijos apskaičiuojamos naudojant faktorius. N objektų išdėstymo būdų skaičius yra n!. Norėdami rasti r objektų permutacijas iš n objektų, naudokite P(n,r) = n!/(n-r)!! Pavyzdžiui, iš 5 raidžių sudėlioti 3 raides galima 5!/2! = 60 būdų.

Permutacijose atsižvelgiama į tvarką (ABC ir BAC skiriasi), kuri apskaičiuojama kaip n!/(n-r)!. Kombinacijos neatsižvelgia į eiliškumą (ABC = BAC), apskaičiuojama kaip n!/(r!(n-r)!). Pavyzdžiui, pasirinkus 2 iš 4 raidžių, gaunama 12 permutacijų, bet tik 6 deriniai.

Standartinėje matematikoje faktoriai nėra apibrėžti neigiamiems sveikiesiems skaičiams. Faktoriaus funkcija taikoma tik neneigiamiems sveikiesiems skaičiams (0, 1, 2, 3...). Neigiamoms arba neintegralinėms reikšmėms naudojama gama funkcija kaip plėtinys.

Standartiniai skaičiuotuvai gali apskaičiuoti faktorius iki maždaug 170! prieš susidurdami su perpildymo klaidomis. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Viršijus šią ribą, reikalingos specializuotos bibliotekos, kuriose būtų galima naudoti bet kokio tikslumo faktorius. Daugelyje praktinių programų didesnių nei 20! faktorialų retai prireikia.

Faktoriai yra esminis dalykas tikimybėje skaičiuojant rezultatus. Įvykių tikimybė dažnai apima kombinacijas C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Pavyzdžiui, skaičiuojant konkrečios pokerio kombinacijos tikimybę, naudojami faktoriai, kad būtų galima suskaičiuoti visas galimas kombinacijas ir palankias baigtis.