Faktoriālais kalkulators

Nē negatīva veselā skaitļa n faktoriāls, ko apzīmē ar n!, ir visu pozitīvo veselu skaitļu, kas mazāki vai vienādi ar n, reizinājums. Piemēram, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Pēc definīcijas 0! = 1.

0! ir vienāds ar 1. Tā ir matemātiska konvencija, kas nodrošina daudzu formulu, tostarp kombināciju un permutāciju, pareizu darbību. Tas apzīmē nulles objektu sakārtošanas veidu skaitu, kas ir viens veids (nedarīt neko).

Faktoriāli aug ātrāk nekā eksponenciālās funkcijas. Katrs nākamais reizinātājs reizina ar pieaugošu skaitli: 10! ≈ 3,6 miljoni, 20! ≈ 2,4 kvintiljoni. Šis straujais pieaugums ierobežo praktiskos aprēķinus ar relatīvi maziem skaitļiem.

Faktoriāli ir ļoti svarīgi kombinatorikā, lai aprēķinātu permutācijas un kombinācijas, varbūtību teorijā, Teilora virknēs aprēķinos, kā arī dažādās statistikas un datorzinātņu algoritmu jomās.

Permutācijas aprēķina, izmantojot faktoriālus. Iespēju skaits, kā sakārtot n objektu, ir n!. Lai atrastu r objektu permutācijas no n objektiem, izmanto P(n,r) = n!/(n-r)!! Piemēram, sakārtot 3 burtus no 5 ir 5!/2! = 60 veidi.

Permutācijas ņem vērā secību (ABC un BAC atšķiras), ko aprēķina kā n!/(n-r)!. Kombinācijās neņem vērā secību (ABC = BAC), aprēķina kā n!/(r!(n-r)!). Piemēram, izvēloties 2 no 4 burtiem, iegūst 12 permutācijas, bet tikai 6 kombinācijas.

Standarta matemātikā faktoriāli nav definēti negatīviem veseliem skaitļiem. Faktoriālfunkcija attiecas tikai uz nenegatīviem veseliem skaitļiem (0, 1, 2, 3...). Negatīviem vai neceltajiem skaitļiem izmanto gamma funkciju kā paplašinājumu.

Standarta kalkulatori var aprēķināt faktoriālus līdz aptuveni 170!, pirms rodas pārplūdes kļūdas. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Ja tas pārsniedz šo robežu, ir nepieciešamas specializētas bibliotēkas ar patvaļīgu precizitāti. Lielākajā daļā praktisko lietojumu faktoriāli virs 20! ir reti vajadzīgi.

Faktoriāls ir būtisks varbūtības aprēķina aspekts, lai saskaitītu rezultātus. Notikumu varbūtība bieži ietver kombinācijas C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Piemēram, konkrētas pokera izspēles varbūtībai izmanto faktoriālus, lai saskaitītu visas iespējamās izspēles un labvēlīgos iznākumus.