Factorial rekenmachine

De factoriaal van een niet-negatief geheel getal n, aangeduid als n!, is het product van alle positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk aan n. Bijvoorbeeld 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per definitie is 0! = 1.

0! is gelijk aan 1. Dit is een wiskundige conventie die ervoor zorgt dat veel formules correct werken, waaronder combinaties en permutaties. Het vertegenwoordigt het aantal manieren om nul objecten te rangschikken, wat één manier is (niets doen).

Factorials groeien sneller dan exponentiële functies. Elke opeenvolgende factorial vermenigvuldigt zich met een toenemend getal: 10! ≈ 3,6 miljoen, 20! ≈ 2,4 quintiljoen. Deze snelle groei beperkt praktische berekeningen tot relatief kleine getallen.

Factorials zijn essentieel in combinatoriek voor het berekenen van permutaties en combinaties, kansrekening, Taylor-reeksen in calculus en verschillende gebieden van statistiek en algoritmen in computerwetenschappen.

Permutaties worden berekend met factorialen. Het aantal manieren om n objecten te rangschikken is n!. Om permutaties van r objecten uit n objecten te vinden, gebruik je P(n,r) = n!/(n-r)!. Bijvoorbeeld, 3 letters rangschikken uit 5 is 5!/2! = 60 manieren.

Permutaties houden rekening met volgorde (ABC vs BAC zijn verschillend), berekend als n!/(n-r)! Combinaties negeren volgorde (ABC = BAC), berekend als n!/(r!(n-r)!). Bijvoorbeeld, het selecteren van 2 uit 4 letters geeft 12 permutaties maar slechts 6 combinaties.

Factorials worden in de standaard wiskunde niet gedefinieerd voor negatieve gehele getallen. De factoriële functie is alleen van toepassing op niet-negatieve gehele getallen (0, 1, 2, 3...). Voor negatieve of niet-integere waarden wordt de gammafunctie gebruikt als uitbreiding.

Standaardrekenmachines kunnen factorialen berekenen tot ongeveer 170! voordat ze overloopfouten krijgen. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Daarboven zijn gespecialiseerde bibliotheken voor arbitraire precisie nodig. Voor de meeste praktische toepassingen zijn factorials boven de 20! zelden nodig.

Factorialen zijn fundamenteel in kansberekening voor het tellen van uitkomsten. De waarschijnlijkheid van gebeurtenissen bestaat vaak uit combinaties C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Bijvoorbeeld, de waarschijnlijkheid van een specifieke pokerhand maakt gebruik van factoren om alle mogelijke handen en gunstige uitkomsten te tellen.