Kalkulator czynnikowy

Mnożnik nieujemnej liczby całkowitej n, oznaczany n!, jest iloczynem wszystkich dodatnich liczb całkowitych mniejszych lub równych n. Na przykład 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Z definicji 0! = 1.

0! równa się 1. Jest to konwencja matematyczna, która sprawia, że wiele formuł działa poprawnie, w tym kombinacje i permutacje. Reprezentuje ona liczbę sposobów ułożenia zera obiektów, czyli jeden sposób (nic nie robić).

Mnożniki rosną szybciej niż funkcje wykładnicze. Każdy kolejny czynnik mnoży się przez coraz większą liczbę: 10! ≈ 3,6 miliona, 20! ≈ 2,4 kwintyliona. Ten szybki wzrost ogranicza praktyczne obliczenia do stosunkowo małych liczb.

Faktory są niezbędne w kombinatoryce do obliczania permutacji i kombinacji, teorii prawdopodobieństwa, szeregów Taylora w rachunku różniczkowym oraz w różnych dziedzinach statystyki i algorytmów informatycznych.

Permutacje są obliczane przy użyciu współczynników. Liczba sposobów ułożenia n obiektów wynosi n! Aby znaleźć permutacje r obiektów z n obiektów, należy użyć wzoru P(n,r) = n!/(n-r)! Na przykład, ułożenie 3 liter z 5 to 5!/2! = 60 sposobów.

Permutacje uwzględniają kolejność (ABC i BAC są różne), obliczane jako n!/(n-r)! Kombinacje ignorują kolejność (ABC = BAC), obliczane jako n!/(r!(n-r)!). Na przykład wybranie 2 z 4 liter daje 12 permutacji, ale tylko 6 kombinacji.

W standardowej matematyce współczynniki nie są zdefiniowane dla liczb całkowitych ujemnych. Funkcja factorial ma zastosowanie tylko do nieujemnych liczb całkowitych (0, 1, 2, 3...). W przypadku wartości ujemnych lub niecałkowitych, funkcja gamma jest używana jako rozszerzenie.

Standardowe kalkulatory mogą obliczać współczynniki do około 170! przed napotkaniem błędów przepełnienia. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Powyżej tej wartości potrzebne są wyspecjalizowane biblioteki o dowolnej precyzji. W większości praktycznych zastosowań, faktoryzacja powyżej 20! jest rzadko potrzebna.

Czynniki mają fundamentalne znaczenie w rachunku prawdopodobieństwa przy liczeniu wyników. Prawdopodobieństwo zdarzeń często obejmuje kombinacje C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Na przykład, prawdopodobieństwo konkretnego układu pokerowego wykorzystuje współczynniki do zliczenia wszystkich możliwych układów i korzystnych wyników.