Calculadora fatorial

O fatorial de um número inteiro não negativo n, denotado n!, é o produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n. Por exemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por definição, 0! = 1.

0! é igual a 1. Essa é uma convenção matemática que faz com que muitas fórmulas funcionem corretamente, inclusive combinações e permutações. Ela representa o número de maneiras de organizar zero objetos, que é uma maneira (não fazer nada).

Os fatoriais crescem mais rapidamente do que as funções exponenciais. Cada fatorial sucessivo se multiplica por um número crescente: 10! ≈ 3,6 milhões, 20! ≈ 2,4 quintilhões. Esse rápido crescimento limita os cálculos práticos a números relativamente pequenos.

Os fatoriais são essenciais em combinatória para calcular permutações e combinações, teoria da probabilidade, séries de Taylor em cálculo e várias áreas de estatística e algoritmos de ciência da computação.

As permutações são calculadas usando fatoriais. O número de maneiras de organizar n objetos é n! Para encontrar permutações de r objetos a partir de n objetos, use P(n,r) = n!/(n-r)! Por exemplo, organizar 3 letras a partir de 5 é 5!/2! = 60 maneiras.

As permutações consideram a ordem (ABC vs. BAC são diferentes), calculada como n!/(n-r)! As combinações ignoram a ordem (ABC = BAC), calculadas como n!/(r!(n-r)!). Por exemplo, selecionar 2 de 4 letras dá 12 permutações, mas apenas 6 combinações.

Os fatoriais não são definidos para números inteiros negativos na matemática padrão. A função fatorial só se aplica a números inteiros não negativos (0, 1, 2, 3...). Para valores negativos ou não-inteiros, a função gama é usada como uma extensão.

As calculadoras padrão podem calcular fatoriais até cerca de 170! antes de encontrar erros de estouro. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Além disso, são necessárias bibliotecas especializadas de precisão arbitrária. Na maioria das aplicações práticas, os fatoriais acima de 20! raramente são necessários.

Os fatoriais são fundamentais em probabilidade para a contagem de resultados. A probabilidade de eventos geralmente envolve combinações C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Por exemplo, a probabilidade de uma mão específica de pôquer usa fatoriais para contar o total de mãos possíveis e os resultados favoráveis.