# Quadratic Equation Solver

Resolva ax^2 + bx + c = 0 a partir dos três coeficientes e obtenha o discriminante, o tipo de raízes e as duas raízes como valores exatos e decimais, incluindo raízes complexas. As raízes exatas são apresentadas como frações ou radicais simplificados, como (3 ± √17) / 4, calculados com aritmética racional exata em mathjs. O vértice da parábola também é incluído. Útil para tarefas de álgebra, problemas de física e para conferir cálculos feitos à mão.

## Perguntas frequentes

### Como insiro a equação?

Insira os coeficientes a, b e c de ax^2 + bx + c = 0. Para x^2 - 3x + 2 = 0, digite a = 1, b = -3 e c = 2. Se b ou c estiver vazio, será considerado 0.

### Por que a não pode ser zero?

Quando a = 0, o termo x^2 desaparece e a equação é linear, bx + c = 0, não quadrática. A ferramenta informa isso em vez de dividir por zero. Use o Equation Solver para equações lineares.

### O que o discriminante indica?

O discriminante é b^2 - 4ac. Se for positivo, há duas raízes reais distintas; se for zero, há uma raiz real repetida; e, se for negativo, há duas raízes complexas conjugadas. A ferramenta mostra o discriminante exato e identifica o caso.

### Como as raízes exatas são escritas?

Se o discriminante for o quadrado perfeito de um número racional, as raízes são exibidas como frações, por exemplo, 2 e 1/2. Caso contrário, a ferramenta simplifica a raiz quadrada; assim, 2x^2 - 6x - 4 = 0 resulta em (3 ± √17) / 2. As raízes complexas usam i, como em -1/2 ± (3/2)i ou (1 ± i√7) / 2.

### Coeficientes decimais são tratados com exatidão?

Sim, decimais como 0.5 ou 1.25 são convertidos em frações exatas antes de qualquer cálculo, então o discriminante, as raízes exatas e o vértice não têm erros de arredondamento. Apenas as raízes decimais são arredondadas, para o número de casas que você escolher. Também funcionam coeficientes em notação científica, como 1e-3.

### Como as raízes decimais são calculadas?

Elas são calculadas usando a fórmula quadrática x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) em ponto flutuante e, por padrão, são arredondadas para 6 casas decimais; você pode ajustar esse valor de 0 a 15. As raízes complexas são exibidas como parte real mais parte imaginária. Uma raiz repetida é listada uma única vez.

### O que é o vértice?

O vértice é o ponto de mudança de direção da parábola y = ax^2 + bx + c, em x = -b / (2a) e y = c - b^2 / (4a). A ferramenta fornece as duas coordenadas como frações exatas. A parábola abre para cima quando a é positivo e para baixo quando a é negativo.

### O que são raízes complexas?

Quando o discriminante é negativo, a parábola nunca cruza o eixo x e as raízes envolvem a unidade imaginária i, em que i^2 = -1. Elas formam um par conjugado: parte real mais e menos a mesma parte imaginária. Ainda assim, são soluções válidas nos números complexos.

### Qual pode ser o tamanho dos coeficientes?

Cada coeficiente pode ter até 100 caracteres, com expoentes de até 300 na notação científica. A aritmética exata usa inteiros de precisão arbitrária, então coeficientes grandes continuam exatos. A raiz quadrada só é simplificada por fatoração quando o número dentro dela é de, no máximo, dez bilhões.

### Posso conferir as raízes por conta própria?

Substitua cada raiz em ax^2 + bx + c e o resultado deve ser zero, ou muito próximo de zero no caso de decimais arredondados. A soma das raízes é igual a -b / a e o produto delas é igual a c / a. Essas relações são uma maneira rápida de conferir a resposta.

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