Факториальный калькулятор

Факториал целого неотрицательного числа n, обозначаемый n!, - это произведение всех целых положительных чисел, меньших или равных n. Например, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. По определению, 0! = 1.

0! равно 1. Это математическая конвенция, благодаря которой многие формулы работают правильно, включая комбинации и перестановки. Она обозначает количество способов расположить ноль объектов, который является одним способом (ничего не делать).

Факториалы растут быстрее, чем экспоненциальные функции. Каждый последующий факториал умножается на все большее число: 10! ≈ 3,6 миллиона, 20! ≈ 2,4 квинтиллиона. Такой быстрый рост ограничивает практические вычисления относительно небольшими числами.

Факториалы необходимы в комбинаторике для вычисления перестановок и сочетаний, теории вероятностей, рядов Тейлора в исчислении, а также в различных областях статистики и алгоритмов информатики.

Перестановки вычисляются с помощью факториалов. Количество способов расположить n объектов равно n! Чтобы найти перестановки r объектов из n объектов, используйте P(n,r) = n!/(n-r)! Например, расположить 3 буквы из 5 можно 5!/2! = 60 способами.

Перестановки учитывают порядок (ABC и BAC различны), вычисляются как n!/(n-r)! Сочетания игнорируют порядок (ABC = BAC), вычисляется как n!/(r!(n-r)!). Например, выбор 2 из 4 букв дает 12 перестановок, но только 6 комбинаций.

В стандартной математике факториалы не определены для отрицательных целых чисел. Функция факториала применима только к неотрицательным целым числам (0, 1, 2, 3...). Для отрицательных или нецелых значений в качестве расширения используется функция гамма.

Стандартные калькуляторы могут вычислять факториалы примерно до 170! до появления ошибок переполнения. 170! ≈ 7.26 × 10^306. При превышении этого значения требуются специализированные библиотеки произвольной точности. Для большинства практических приложений факториалы выше 20! редко нужны.

Факториалы являются основополагающими в теории вероятностей для подсчета исходов. Вероятность событий часто включает в себя комбинации C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Например, вероятность конкретной руки в покере использует факториалы для подсчета всех возможных рук и благоприятных исходов.