Faktorová kalkulačka

Faktoriál nezáporného celého čísla n, označovaný n!, je súčin všetkých kladných celých čísel menších alebo rovných n. Napríklad 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Podľa definície 0! = 1.

0! sa rovná 1. Ide o matematickú konvenciu, ktorá umožňuje správne fungovanie mnohých vzorcov vrátane kombinácií a permutácií. Predstavuje počet spôsobov usporiadania nulových objektov, čo je jeden spôsob (nerobiť nič).

Faktoriály rastú rýchlejšie ako exponenciálne funkcie. Každý ďalší faktoriál sa násobí rastúcim číslom: 10! ≈ 3,6 milióna, 20! ≈ 2,4 kvintilióna. Tento rýchly rast obmedzuje praktické výpočty na relatívne malé čísla.

Faktoriály sú nevyhnutné v kombinatorike na výpočet permutácií a kombinácií, v teórii pravdepodobnosti, Taylorových radoch v matematike a v rôznych oblastiach štatistiky a algoritmov v informatike.

Permutácie sa počítajú pomocou faktoriálov. Počet spôsobov usporiadania n objektov je n!. Ak chcete nájsť permutácie r objektov z n objektov, použite P(n,r) = n!/(n-r)!. Napríklad usporiadanie 3 písmen z 5 je 5!/2! = 60 spôsobov.

Pri permutáciách sa berie do úvahy poradie (ABC a BAC sa líšia), vypočítané ako n!/(n-r)!. Kombinácie nezohľadňujú poradie (ABC = BAC), vypočítané ako n!/(r!(n-r)!). Napríklad výber 2 zo 4 písmen dáva 12 permutácií, ale len 6 kombinácií.

Faktoriály nie sú v štandardnej matematike definované pre záporné celé čísla. Funkcia faktoriálu sa vzťahuje len na nezáporné celé čísla (0, 1, 2, 3...). Pre záporné alebo neceločíselné hodnoty sa ako rozšírenie používa funkcia gama.

Štandardné kalkulačky dokážu vypočítať faktoriály až do hodnoty približne 170!, než sa vyskytnú chyby pri pretečení. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Nad túto hranicu sú potrebné špecializované knižnice s ľubovoľnou presnosťou. Pre väčšinu praktických aplikácií sú faktoriály nad 20! potrebné len zriedka.

Faktoriály sú základom pravdepodobnosti pri počítaní výsledkov. Pravdepodobnosť udalostí často zahŕňa kombinácie C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Napríklad pravdepodobnosť konkrétneho pokrového rozdania využíva faktoriály na počítanie celkového počtu možných rozdaní a priaznivých výsledkov.