Faktorski kalkulator

Faktorial nenegativnega celega števila n, označen z n!, je zmnožek vseh pozitivnih celih števil, manjših ali enakih n. Na primer 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Po definiciji je 0! = 1.

0! je enako 1. To je matematična konvencija, ki omogoča pravilno delovanje številnih formul, vključno s kombinacijami in permutacijami. Predstavlja število načinov, kako urediti nič predmetov, kar je en način (ne narediti ničesar).

Faktorji rastejo hitreje kot eksponentne funkcije. Vsak naslednji faktorial se množi z vedno večjim številom: 10! ≈ 3,6 milijona, 20! ≈ 2,4 kvintiliona. Ta hitra rast omejuje praktične izračune na razmeroma majhna števila.

Faktorji so bistveni v kombinatoriki za izračunavanje permutacij in kombinacij, teoriji verjetnosti, Taylorjevih vrstah v računu ter na različnih področjih statistike in računalniških algoritmov.

Permutacije se izračunajo s faktorji. Število načinov za razporeditev n predmetov je n!. Če želite najti permutacije r predmetov iz n predmetov, uporabite P(n,r) = n!/(n-r)!. Na primer, če iz 5 črk razporedimo 3 črke, je 5!/2! = 60 načinov.

Permutacije upoštevajo vrstni red (ABC in BAC sta različna), izračunan kot n!/(n-r)!. Kombinacije ne upoštevajo vrstnega reda (ABC = BAC), izračunano kot n!/(r!(n-r)!). Če na primer izberemo 2 od 4 črk, dobimo 12 permutacij, vendar le 6 kombinacij.

V standardni matematiki faktorji za negativna cela števila niso definirani. Funkcija faktorial velja samo za nenegativna cela števila (0, 1, 2, 3 ...). Za negativne ali neceloštevilske vrednosti se kot razširitev uporablja funkcija gama.

Standardni kalkulatorji lahko izračunajo faktoriale do približno 170!, preden naletijo na napake pri prelivanju. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Nad to vrednostjo so potrebne specializirane knjižnice za poljubno natančnost. Za večino praktičnih aplikacij so faktoriali nad 20! redko potrebni.

Faktorji so v verjetnosti temeljni za štetje rezultatov. Verjetnost dogodkov pogosto vključuje kombinacije C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Na primer, verjetnost določene kombinacije v pokru uporablja faktorje za štetje vseh možnih kombinacij in ugodnih izidov.