Faktoriell kalkylator

Faktorialtalet för ett icke-negativt heltal n, betecknat n!, är produkten av alla positiva heltal som är mindre än eller lika med n. Till exempel 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per definition är 0! = 1.

0! är lika med 1. Detta är en matematisk konvention som gör att många formler fungerar korrekt, inklusive kombinationer och permutationer. Det representerar antalet sätt att arrangera noll objekt, vilket är ett sätt (gör ingenting).

Faktorialtal växer snabbare än exponentiella funktioner. Varje successiv faktoriell multipliceras med ett ökande antal: 10! ≈ 3,6 miljoner, 20! ≈ 2,4 kvintiljoner. Denna snabba tillväxt begränsar praktiska beräkningar till relativt små tal.

Faktorialtal är viktiga inom kombinatorik för att beräkna permutationer och kombinationer, sannolikhetsteori, Taylor-serier i kalkylering och olika områden inom statistik och datavetenskapliga algoritmer.

Permutationer beräknas med hjälp av faktorialtal. Antalet sätt att arrangera n föremål är n! För att hitta permutationer av r objekt från n objekt, använd P(n,r) = n!/(n-r)! Till exempel, att ordna 3 bokstäver från 5 är 5!/2! = 60 sätt.

Permutationer tar hänsyn till ordning (ABC vs BAC är olika), beräknas som n!/(n-r)! Kombinationer ignorerar ordning (ABC = BAC), beräknas som n!/(r!(n-r)!). Om man t.ex. väljer 2 av 4 bokstäver får man 12 permutationer men bara 6 kombinationer.

Faktorialtal definieras inte för negativa heltal i standardmatematiken. Faktorfunktionen gäller endast för icke-negativa heltal (0, 1, 2, 3...). För negativa värden eller värden som inte är heltal används gammafunktionen som en utvidgning.

Vanliga miniräknare kan beräkna faktorialer upp till ca 170! innan de får överströmningsfel. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Utöver detta behövs specialiserade bibliotek för godtycklig precision. För de flesta praktiska tillämpningar behövs sällan faktorialtal över 20!

Faktoriella tal är grundläggande inom sannolikhetslära för att räkna utfall. Sannolikheten för händelser innefattar ofta kombinationer C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). När man till exempel räknar ut sannolikheten för en viss pokerhand används faktorialtal för att räkna alla möjliga händer och gynnsamma utfall.