Faktöriyel Hesaplayıcı

Negatif olmayan bir n tamsayısının faktöriyeli, n! olarak gösterilir, n'den küçük veya n'ye eşit tüm pozitif tamsayıların çarpımıdır. Örneğin, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Tanım gereği, 0! = 1'dir.

0! 1'e eşittir. Bu, kombinasyonlar ve permütasyonlar da dahil olmak üzere birçok formülün doğru çalışmasını sağlayan matematiksel bir kuraldır. Tek bir yol olan (hiçbir şey yapmamak) sıfır nesneyi düzenlemenin yollarının sayısını temsil eder.

Faktöriyeller üstel fonksiyonlardan daha hızlı büyür. Birbirini izleyen her faktöriyel artan bir sayı ile çarpılır: 10! ≈ 3,6 milyon, 20! ≈ 2,4 kentilyon. Bu hızlı büyüme, pratik hesaplamaları nispeten küçük sayılarla sınırlar.

Faktöriyeller, permütasyon ve kombinasyonların hesaplanması için kombinatorikte, olasılık teorisinde, kalkülüste Taylor serilerinde ve istatistik ve bilgisayar bilimi algoritmalarının çeşitli alanlarında gereklidir.

Permütasyonlar faktöriyeller kullanılarak hesaplanır. n nesneyi düzenlemenin yollarının sayısı n! n nesneden r nesnenin permütasyonlarını bulmak için P(n,r) = n!/(n-r)! kullanın. Örneğin, 5'ten 3 harfin düzenlenmesi 5!/2! = 60 yoldur.

Permütasyonlar sırayı dikkate alır (ABC ve BAC farklıdır), n!/(n-r)! olarak hesaplanır. Kombinasyonlar sırayı göz ardı eder (ABC = BAC), n!/(r!(n-r)!) olarak hesaplanır. Örneğin, 4 harften 2'sini seçmek 12 permütasyon ancak sadece 6 kombinasyon verir.

Faktöriyeller standart matematikte negatif tamsayılar için tanımlanmamıştır. Faktöriyel fonksiyonu yalnızca negatif olmayan tam sayılar (0, 1, 2, 3...) için geçerlidir. Negatif veya tamsayı olmayan değerler için gamma fonksiyonu bir uzantı olarak kullanılır.

Standart hesap makineleri taşma hatalarıyla karşılaşmadan önce yaklaşık 170! faktöriyel hesaplayabilir. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Bunun ötesinde, özel rasgele hassasiyetli kütüphanelere ihtiyaç vardır. Çoğu pratik uygulama için, 20!'nin üzerindeki faktöriyellere nadiren ihtiyaç duyulur.

Faktöriyeller, sonuçları saymak için olasılıkta temeldir. Olayların olasılığı genellikle C(n,r) = n!/(r!(n-r)!) kombinasyonlarını içerir. Örneğin, belirli bir poker elinin olasılığı, toplam olası elleri ve olumlu sonuçları saymak için faktöriyelleri kullanır.