GCD ve LCM Hesaplayıcı

En Büyük Ortak Faktör (GCF) olarak da adlandırılan GCD, her iki sayıyı da kalansız bölen en büyük pozitif tamsayıdır. Örneğin, 12 ve 18'in GCD'si 6'dır çünkü 6 her ikisini de eşit olarak bölen en büyük sayıdır.

LCM, her iki sayıya da bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır. Örneğin, 4 ve 6'nın LCM'si 12'dir çünkü 12 hem 4 hem de 6 ile bölünebilen en küçük sayıdır.

Herhangi iki pozitif a ve b tamsayısı için: GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b. Bu ilişki, GCD'yi biliyorsanız LCM'yi hesaplamanıza veya tam tersini yapmanıza olanak tanır.

GCD, kesirleri sadeleştirmek (pay ve paydayı GCD'lerine bölmek), Diophantine denklemlerini çözmek ve kriptografi ve bilgisayar bilimindeki çeşitli uygulamalar için gereklidir.

Bir kesri sadeleştirmek için, hem pay hem de paydayı GCD'lerine bölün. Örneğin, 24/36'yı sadeleştirmek için: GCD(24,36) = 12'yi bulun, ardından 2/3 elde etmek için her ikisini de 12'ye bölün. Bu size kesri en düşük terimleriyle verir.

LCM, tekrar eden olayları senkronize ederken kullanılır. Örnekler arasında iki otobüsün aynı anda ne zaman geleceğini bulmak, kesirleri toplamak için ortak paydaları belirlemek, yinelenen görevleri planlamak veya farklı diş sayılarına sahip dişlilerin ne zaman hizalanacağını planlamak yer alır.

Her sayıyı asal çarpanlarına ayırın, ardından ortak çarpanları en düşük güçlerle çarpın. Örneğin, 48 = 2^4 × 3 ve 18 = 2 × 3^2. Ortak çarpanlar 2^1 ve 3^1'dir, dolayısıyla GCD = 2 × 3 = 6'dır.

Her sayıyı asal çarpanlarına ayırın, ardından en yüksek kuvvetleri kullanarak tüm çarpanları çarpın. 12 = 2^2 × 3 ve 18 = 2 × 3^2 için 2^2 ve 3^2 alın, böylece LCM = 4 × 9 = 36 olur.

Öklid algoritması, GCD'yi tekrar tekrar bölerek ve kalanları alarak verimli bir şekilde bulur. GCD(48,18) için: 48÷18=2 kalan 12, 18÷12=1 kalan 6, 12÷6=2 kalan 0. Kalan 0 olduğunda, son bölen (6) GCD'dir.