Калькулятор коефіцієнтів

Факторіал цілого невід'ємного числа n, що позначається n!, є добутком усіх натуральних чисел, менших або рівних n. Наприклад, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. За означенням, 0! = 1.

0! дорівнює 1. Це математична конвенція, яка забезпечує правильну роботу багатьох формул, включаючи комбінації та перестановки. Вона показує кількість способів розміщення нульових об'єктів, тобто один спосіб (нічого не робити).

Факторіали ростуть швидше, ніж експоненціальні функції. Кожен наступний факторіал множиться на зростаюче число: 10! ≈ 3.6 мільйона, 20! ≈ 2.4 квінтильйона. Таке швидке зростання обмежує практичні обчислення відносно невеликими числами.

Факторіали необхідні в комбінаториці для обчислення перестановок і комбінацій, теорії ймовірностей, рядів Тейлора в обчисленнях, а також в різних областях статистики та алгоритмів комп'ютерних наук.

Перестановки обчислюються за допомогою факторіалів. Кількість способів розміщення n об'єктів дорівнює n! Для знаходження перестановок з r об'єктів з n об'єктів використовується P(n,r) = n!/(n-r)! Наприклад, скласти 3 літери з 5 - це 5!/2! = 60 способів.

Перестановки враховують порядок (ABC vs BAC різні), який обчислюється як n!/(n-r)! Комбінації ігнорують порядок (ABC = BAC) і обчислюються як n!/(r!(n-r)!). Наприклад, вибір 2 з 4 букв дає 12 перестановок, але лише 6 комбінацій.

Факторіали не визначені для від'ємних чисел у стандартній математиці. Факторіальна функція застосовується лише до цілих невід'ємних чисел (0, 1, 2, 3...). Для від'ємних або нецілих значень використовується гамма-функція як розширення.

Стандартні калькулятори можуть обчислювати факторіали приблизно до 170! до того, як зіткнуться з помилками переповнення. 170! ≈ 7.26 × 10^306. За межами цього діапазону потрібні спеціалізовані бібліотеки довільної точності. Для більшості практичних застосувань факторіали, більші за 20, рідко потрібні.

Фактори є фундаментальними в теорії ймовірностей для підрахунку результатів. Ймовірність подій часто включає комбінації C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Наприклад, ймовірність певної покерної комбінації використовує факторіали для підрахунку загальної кількості можливих комбінацій і сприятливих результатів.