# 排列与组合计算器

精确计算从 n 个项目中选取 r 个的排列和组合：排列 nPr、组合 nCr、可重复排列 n^r，以及可重复组合 C(n + r - 1, r)。输入不超过 1000 的整数，即可获得每种计数的精确整数结果；对于特别长的结果，还会以科学计数法显示并注明位数。适用于概率、彩票中奖概率、密码和组合数学作业。

## 常见问题

### 排列和组合有什么区别？

排列计算有序的排法，因此先选 A 再选 B 与先选 B 再选 A 不同。组合计算无序的选法，只看选出的项目集合。因此，nPr 始终大于或等于 nCr，且 nPr 等于 nCr 乘以 r 的阶乘。

### 使用了哪些公式？

nPr = factorial(n) / factorial(n - r)，nCr = nPr / factorial(r)，可重复排列为 n^r，可重复组合为 C(n + r - 1, r)。计算结果使用精确整数运算，不会通过浮点数阶乘计算。公式列在结果下方。

### 什么时候应该考虑重复选取？

当项目可以重复选取且顺序重要时，使用可重复排列，例如从 10 个数字中选取数字组成 4 位 PIN，共有 10^4 = 10,000 种可能。当项目可以重复选取但顺序不重要时，使用可重复组合，例如从 5 种冰淇淋口味中选 3 球，结果为 C(7, 3) = 35 种。

### 当 r 大于 n 时会怎样？

不允许重复选取时，选取的项目数不能超过现有项目数，因此 nPr 和 nCr 都为 0。允许重复选取时，r 可以大于 n，且仍会计算两种可重复选取的计数。例如，从 2 个项目中重复选取 5 次，会得到 2^5 = 32 种有序结果。

### n 和 r 最大可以是多少？

两者都可以是从 0 到 1000 的整数。结果仍可能非常大，因为 1000^1000 有 3001 位，因此工具会使用任意精度整数进行计算。超过 100 位的数值会以科学计数法显示，并注明精确位数。

### 如何计算彩票中奖概率？

如果彩票从 49 个号码中抽取 6 个，且顺序不重要，请输入 n = 49 和 r = 6，然后查看 nCr，其结果为 13,983,816。购买一张彩票并匹配全部 6 个号码的概率是 1 比该数值。添加特别号码时，将其对应的组合数相乘即可。

### 选取零个项目时会怎样？

按照惯例，0 的阶乘为 1，且什么都不选恰好只有一种方法，因此对于任意 n，nP0 = nC0 = 1。此外，n^0 = 1，包括 0^0；这是组合数学中的标准约定。工具遵循这些约定。

### 为什么 nCr 的结果具有对称性？

选取 r 个项目，与留下 n - r 个项目等价，因此 C(n, r) = C(n, n - r)。例如，C(10, 3) 和 C(10, 7) 的结果都是 120。工具利用这种对称性更快地计算较大的组合数。

### 可以使用小数或负数吗？

不可以，n 和 r 必须是大于或等于零的整数，因为它们表示项目数量。小数或负数输入会被拒绝并显示提示。要计算伽马函数和非整数阶乘，请使用科学计算器。

### 结果有多精确？

每个计数结果都精确到最后一位，因为工具使用任意精度整数进行乘除运算。最多 100 位的结果会完整显示。更长的结果会显示前导数字的 10 的幂形式以及总位数。

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