# 二次方程求解器

根据方程的三个系数求解 ax^2 + bx + c = 0，并得出判别式、根的类型以及两个根的精确值和小数值，包括复根。精确根会以分数或化简后的根式显示，例如 (3 ± √17) / 4，并使用 mathjs 的精确有理数运算计算。结果还包括抛物线的顶点。适用于代数作业、物理问题和核对手算结果。

## 常见问题

### 如何输入方程？

输入 ax^2 + bx + c = 0 中的系数 a、b 和 c。对于 x^2 - 3x + 2 = 0，输入 a = 1、b = -3、c = 2。如果 b 或 c 留空，则按 0 处理。

### 为什么 a 不能为零？

当 a = 0 时，x^2 项会消失，方程就变成一次方程 bx + c = 0，而不是二次方程。此工具会报告这一情况，而不会除以零。解一次方程请使用方程求解器。

### 判别式能说明什么？

判别式为 b^2 - 4ac。如果它大于零，就有两个不同的实根；如果等于零，就有一个重实根；如果小于零，就有两个共轭复根。此工具会显示判别式的精确值，并说明所属情形。

### 精确根如何表示？

如果判别式是有理数的完全平方，根会以分数形式显示，例如 2 和 1/2。否则，此工具会化简平方根，因此 2x^2 - 6x - 4 = 0 的结果为 (3 ± √17) / 2。复根使用 i 表示，例如 -1/2 ± (3/2)i 或 (1 ± i√7) / 2。

### 小数系数也能精确处理吗？

可以。0.5 或 1.25 这样的十进制数会在计算前转换为精确分数，因此判别式、精确根和顶点都不会有舍入误差。只有小数形式的根会按你选择的小数位数进行舍入。1e-3 这样的科学计数法系数也可以使用。

### 小数形式的根如何计算？

小数根使用二次公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 以浮点数计算，默认舍入到 6 位小数，可调整为 0 到 15 位。复根会显示为实部加虚部。重根只列出一次。

### 什么是顶点？

顶点是抛物线 y = ax^2 + bx + c 的转折点，其坐标为 x = -b / (2a) 和 y = c - b^2 / (4a)。此工具会以精确分数形式给出两个坐标。a 为正时抛物线开口向上，a 为负时开口向下。

### 什么是复根？

判别式为负时，抛物线不会与 x 轴相交，根会包含虚数单位 i，其中 i^2 = -1。复根成对共轭，实部相同，虚部互为相反数。它们仍然是复数范围内的有效解。

### 系数最大可以有多大？

每个系数最多可有 100 个字符，科学计数法的指数最大为 300。精确运算使用任意精度整数，因此大系数也能保持精确。只有被开方数不超过一百亿时，才会通过因式分解来化简平方根。

### 我可以自己验证根吗？

将每个根代入 ax^2 + bx + c，结果应为零；如果是舍入后的小数，结果应非常接近零。根的和等于 -b / a，根的积等于 c / a。这些关系可以快速验证答案。

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