Kalkulator Faktorial

Faktorial dari bilangan bulat non-negatif n, dilambangkan n!, adalah hasil kali semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Sebagai contoh, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Menurut definisi, 0! = 1.

0! sama dengan 1. Ini adalah konvensi matematika yang membuat banyak rumus bekerja dengan benar, termasuk kombinasi dan permutasi. Ini mewakili jumlah cara untuk menyusun nol objek, yang merupakan satu cara (tidak melakukan apa pun).

Faktorial tumbuh lebih cepat daripada fungsi eksponensial. Setiap faktorial yang berurutan mengalikan dengan jumlah yang meningkat: 10! ≈ 3,6 juta, 20! ≈ 2,4 kuintiliun. Pertumbuhan yang cepat ini membatasi perhitungan praktis pada angka yang relatif kecil.

Faktorial sangat penting dalam kombinatorika untuk menghitung permutasi dan kombinasi, teori probabilitas, deret Taylor dalam kalkulus, dan berbagai bidang statistik dan algoritma ilmu komputer.

Permutasi dihitung dengan menggunakan faktorial. Jumlah cara untuk menyusun n objek adalah n!. Untuk mencari permutasi r objek dari n objek, gunakan P(n,r) = n!/(n-r)!. Sebagai contoh, menyusun 3 huruf dari 5 huruf adalah 5!/2!/2!= 60 cara.

Permutasi mempertimbangkan urutan (ABC vs BAC berbeda), dihitung sebagai n!/(n-r)!. Kombinasi mengabaikan urutan (ABC = BAC), dihitung sebagai n!/(r!(n-r)!). Sebagai contoh, memilih 2 dari 4 huruf akan menghasilkan 12 permutasi, namun hanya 6 kombinasi.

Faktorial tidak didefinisikan untuk bilangan bulat negatif dalam matematika standar. Fungsi faktorial hanya berlaku untuk bilangan bulat non-negatif (0, 1, 2, 3...). Untuk nilai negatif atau non-integer, fungsi gamma digunakan sebagai perluasan.

Kalkulator standar dapat menghitung faktorial hingga sekitar 170! sebelum mengalami kesalahan overflow. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Di luar itu, diperlukan pustaka khusus dengan presisi sembarang. Untuk sebagian besar aplikasi praktis, faktorial di atas 20! jarang dibutuhkan.

Faktorial merupakan hal mendasar dalam probabilitas untuk menghitung hasil. Probabilitas kejadian sering kali melibatkan kombinasi C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Sebagai contoh, probabilitas tangan poker tertentu menggunakan faktorial untuk menghitung total kemungkinan tangan dan hasil yang menguntungkan.