مدقق الأعداد الأولية

العدد الأوّلي هو عدد طبيعي أكبر من 1 ليس له قواسم موجبة غير 1 والعدد نفسه. الأعداد الأولية الأولى هي 2، 3، 5، 7، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29...

لا، العدد 1 لا يُعتبَر عددًا أوَّليًّا. وفقًا للتعريف، يجب أن يكون العدد الأولي أكبر من 1 وأن يكون له مقسومان موجبان مختلفان بالضبط (1 والعدد نفسه). العدد 1 له مقسوم واحد فقط.

نعم، 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد. فهو يقبل القسمة على 1 و2 فقط. جميع الأعداد الزوجية الأخرى تقبل القسمة على 2، لذا لا يمكن أن تكون أولية.

الأعداد الأولية أساسية في الرياضيات وأساسية في علم التشفير الحديث. يعتمد تشفير RSA، المستخدم لتأمين المعاملات عبر الإنترنت، على صعوبة تحليل الأعداد الكبيرة إلى مكوناتها الأولية.

يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، كما أثبت إقليدس حوالي عام 300 قبل الميلاد. وبغض النظر عن حجم العدد الأولي الذي تجده، فهناك دائمًا عدد أولي أكبر منه. ومع ذلك، تصبح الأعداد الأولية نادرة على نحو متزايد كلما كبرت الأعداد - حوالي 4% فقط من الأعداد القريبة من المليون هي أعداد أولية.

اعتبارًا من عام 2024، أكبر عدد أوّلي معروف هو 2^82,589,933 - 1، الذي اكتُشف في عام 2018. يحتوي هذا العدد الأولي لمرسين على 24,862,048 رقمًا. تُكتشَف الأعداد الأولية القياسية الجديدة من خلال مشروع البحث عن أوليات ميرسيني على الإنترنت (GIMPS)، وهو مشروع حوسبة موزعة.

بالنسبة للأعداد الصغيرة، تحقق من قابلية القسمة على الأعداد الأولية حتى الجذر التربيعي. على سبيل المثال، للتحقق مما إذا كان 97 عددًا أوليًا، اختبر الأعداد الأولية حتى √97 ≈ 9.8 (لذا اختبر 2، 3، 5، 7). بما أن 97 لا يقبل القسمة على أي من هذه الأعداد، فهو عدد أولي.

الأعداد الأولية التوأم أزواج من الأعداد الأولية يفصل بينها 2، مثل (3,5) و(5,7) و(11,13) و(17,19) و(29,31). وتتوقع حدسية الأعداد الأولية التوأم وجود عدد لا نهائي منها، لكن ذلك لم يُثبت رغم قرون من البحث الرياضي.

يمكن التعبير عن كل عدد مركب بشكل فريد على أنه حاصل ضرب الأعداد الأولية (النظرية الأساسية في الحساب). يُستخدم التحليل الأولي في تبسيط الكسور، وإيجاد GCD/LCM، والتشفير، وحل العديد من المسائل الرياضية. على سبيل المثال، 60 = 2^2 × 3 × 5.

تحتوي الأعداد الأولية لمرسين على الصيغة 2^p - 1، حيث تكون p أيضًا أولية. ومن الأمثلة على ذلك 3 (2^2-1) و7 (2^3-1) و31 (2^5-1). وهي مهمة في إيجاد الأعداد الأولية الكبيرة ولها صلات بالأعداد الكاملة. لا يُعرف سوى 51 من الأعداد الأولية لمرسيني.