Calculator factorial

Factorul unui număr întreg ne-negativ n, notat n!, este produsul tuturor numerelor întregi pozitive mai mici sau egale cu n. De exemplu, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Prin definiție, 0! = 1.

0! este egal cu 1. Aceasta este o convenție matematică care face ca multe formule să funcționeze corect, inclusiv combinațiile și permutările. Reprezintă numărul de moduri de a aranja zero obiecte, care este un singur mod (a nu face nimic).

Factorialele cresc mai repede decât funcțiile exponențiale. Fiecare factorială succesivă se multiplică cu un număr din ce în ce mai mare: 10! ≈ 3,6 milioane, 20! ≈ 2,4 quintilioane. Această creștere rapidă limitează calculele practice la numere relativ mici.

Factorialele sunt esențiale în combinatorică pentru calculul permutărilor și combinațiilor, în teoria probabilităților, în seriile Taylor din calcul și în diverse domenii ale statisticii și algoritmilor informatici.

Permutările se calculează folosind factoriali. Numărul de moduri de a aranja n obiecte este n!. Pentru a găsi permutările a r obiecte din n obiecte, utilizați P(n,r) = n!/(n-r)!. De exemplu, aranjarea a 3 litere din 5 este 5!/2! = 60 de moduri.

Permutările iau în considerare ordinea (ABC vs BAC sunt diferite), calculată ca n!/(n-r)!. Combinațiile ignoră ordinea (ABC = BAC), calculată ca n!/(r!(n-r)!). De exemplu, selectarea a 2 litere din 4 dă 12 permutări, dar numai 6 combinații.

Factorialele nu sunt definite pentru numerele întregi negative în matematica standard. Funcția factorială se aplică numai numerelor întregi ne-negative (0, 1, 2, 3...). Pentru valorile negative sau neîntregi, funcția gamma este utilizată ca o extensie.

Calculatoarele standard pot calcula factoriale până la aproximativ 170! înainte de a întâmpina erori de depășire. 170! ≈ 7.26 × 10^306. Dincolo de această valoare, sunt necesare biblioteci specializate de precizie arbitrară. Pentru majoritatea aplicațiilor practice, factorialele de peste 20! sunt rareori necesare.

Factorialele sunt fundamentale în probabilități pentru numărarea rezultatelor. Probabilitatea evenimentelor implică adesea combinații C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). De exemplu, probabilitatea unei anumite mâini de poker utilizează factorialele pentru a număra totalul mâinilor posibile și rezultatele favorabile.

100! este aproximativ 9,33 × 10^157, un număr cu 158 de cifre. The exact value is 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000.