حاسبة GCD و LCM

GCD، ويُسمى أيضًا العامل المشترك الأكبر (GCF)، هو أكبر عدد صحيح موجب يقسم العددين دون باقٍ. على سبيل المثال، GCD للعددين 12 و18 هو 6، لأنه أكبر عدد يقسم كليهما بالتساوي.

LCM هو أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على العددين. على سبيل المثال، LCM للعددين 4 و6 هو 12، لأنه أصغر عدد يقبل القسمة على كليهما.

لأي عددين صحيحين موجبين a وb: GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b. تتيح لك هذه العلاقة حساب LCM إذا كنت تعرف GCD، أو العكس.

يعد GCD ضروريًا لتبسيط الكسور (قسمة البسط والمقام على GCD الخاص بهما)، وحل معادلات ديوفانتين وتطبيقات مختلفة في التشفير وعلوم الكمبيوتر.

لتبسيط كسر، اقسم البسط والمقام على GCD. مثلًا، لتبسيط 24/36، أوجد GCD(24,36) = 12، ثم اقسم كليهما على 12 لتحصل على 2/3. وبذلك تحصل على الكسر في أبسط صورة.

يُستخدم LCM عند مزامنة الأحداث المتكررة. تتضمن الأمثلة على ذلك إيجاد وقت وصول حافلتين في نفس الوقت، أو تحديد المقامات المشتركة لجمع الكسور، أو جدولة المهام المتكررة، أو التخطيط عند محاذاة التروس ذات أعداد الأسنان المختلفة.

حلّل كل عدد إلى عوامله الأولية، ثم اضرب العوامل المشتركة بأقل أسسها. مثلًا، 48 = 2^4 × 3 و18 = 2 × 3^2. العاملان المشتركان هما 2^1 و3^1، لذا GCD = 2 × 3 = 6.

قسِّم كل عدد إلى عوامل أولية، ثم اضرب جميع العوامل باستخدام أعلى القوى. بالنسبة للعدد 12 = 2^2 × 3 و18 = 2 × 3^2، خذ 2^2 و3^2، إذن LCM = 4 × 9 = 36.

تجد خوارزمية إقليدس GCD بكفاءة عبر القسمة المتكررة وأخذ البواقي. مثلًا، في GCD(48,18): 48÷18=2 والباقي 12، و18÷12=1 والباقي 6، و12÷6=2 والباقي 0. عندما يصبح الباقي 0، يكون آخر مقسوم عليه (6) هو GCD.

الأعداد المتباينة أوليًا (وتسمى أيضًا أولية فيما بينها) لا عوامل مشتركة بينها سوى 1. بالنسبة إلى هذه الأعداد، GCD = 1 وLCM = حاصل ضربها. مثلًا، 8 و15 متباينان أوليًا: GCD(8,15) = 1 وLCM(8,15) = 120.