GCD & LCM számológép
Számítsa ki két szám legnagyobb közös osztóját (GCD) és legkisebb közös többszörösét (LCM) ingyenes online számológépünkkel. Megmutatja a két szám prímtényezőket is. Elengedhetetlen a matematika tanulók és a törtek egyszerűsítése számára.
Gyakran ismételt kérdések
A GCD, más néven a legnagyobb közös tényező (Greatest Common Factor, GCF) az a legnagyobb pozitív egész szám, amely mindkét számot maradék nélkül osztja. Például 12 és 18 GCD-je 6, mert 6 a legnagyobb szám, amely mindkettőt egyenletesen osztja.
Az LCM a legkisebb pozitív egész szám, amely mindkét számmal osztható. Például a 4 és a 6 LCM-je 12, mert a 12 a legkisebb szám, amely osztható 4-gyel és 6-mal.
Két pozitív egész számra a és b: GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b. Ez az összefüggés lehetővé teszi az LCM kiszámítását, ha ismerjük a GCD-t, vagy fordítva.
A GCD nélkülözhetetlen a törtek egyszerűsítéséhez (a számláló és a nevező osztása a GCD-vel), a diofantikus egyenletek megoldásához, valamint a kriptográfia és a számítástechnika különböző alkalmazásaihoz.
Egy tört egyszerűsítéséhez osszuk el a számlálót és a nevezőt a GCD-vel. Például a 24/36 egyszerűsítéséhez: keressük meg a GCD(24,36) = 12-t, majd osszuk el mindkettőt 12-vel, hogy megkapjuk a 2/3-ot. Így megkapjuk a törtet a legalacsonyabb értékben.
Az LCM az ismétlődő események szinkronizálásakor használatos. Ilyen például annak megállapítása, hogy mikor érkezik két busz egyszerre, a törtek összeadásához szükséges közös nevezők meghatározása, ismétlődő feladatok ütemezése, vagy annak megtervezése, hogy a különböző fogszámú fogaskerekek mikor igazodnak egymáshoz.
Minden számot bontsunk prímtényezőkre, majd szorozzuk meg a közös tényezőket a legkisebb hatványokkal. Például 48 = 2^4 × 3 és 18 = 2 × 3^2. A közös tényezők 2^1 és 3^1, tehát GCD = 2 × 3 = 6.
Minden számot bontsunk prímtényezőkre, majd szorozzuk meg az összes tényezőt a legnagyobb hatványokkal. A 12 = 2^2 × 3 és a 18 = 2 × 3^2 esetében vegyük a 2^2-t és a 3^2-t, így LCM = 4 × 9 = 36.
Az euklideszi algoritmus hatékonyan találja meg a GCD-t többszöri osztással és maradékok kivonásával. A GCD(48,18) esetében: Ha a maradék 0, akkor az utolsó osztó (6) a GCD.
A koprimális számoknak (más néven relatív prímszámoknak) nincs közös tényezőjük, kivéve az 1-et. A koprimális számok esetében a GCD = 1 és az LCM = a szorzatuk. Például a 8 és a 15 koprime: GCD(8,15) = 1 és LCM(8,15) = 120.