GCD- og LCM-beregner

GCD, også kaldet Greatest Common Factor (GCF), er det største positive heltal, der deler begge tal uden en rest. For eksempel er GCD af 12 og 18 6, fordi 6 er det største tal, der deler begge tal ligeligt.

LCM er det mindste positive heltal, der er deleligt med begge tal. For eksempel er LCM af 4 og 6 12, fordi 12 er det mindste tal, der er deleligt med både 4 og 6.

For to positive heltal a og b: GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b. Dette forhold gør det muligt at udregne LCM, hvis man kender GCD, eller omvendt.

GCD er afgørende for forenkling af brøker (divider tæller og nævner med deres GCD), løsning af diofantiske ligninger og forskellige anvendelser inden for kryptografi og datalogi.

For at forenkle en brøk skal du dividere både tæller og nævner med deres GCD. For eksempel for at forenkle 24/36: Find GCD(24,36) = 12, og divider derefter begge med 12 for at få 2/3. Dette giver dig brøken i dens laveste udtryk.

LCM bruges til at synkronisere gentagne begivenheder. Eksempler er at finde ud af, hvornår to busser ankommer på samme tid, bestemme fællesnævnere for addition af brøker, planlægge tilbagevendende opgaver eller planlægge, hvornår tandhjul med forskellige tandantal skal flugte.

Opdel hvert tal i primfaktorer, og gang derefter de fælles faktorer med de laveste potenser. For eksempel 48 = 2^4 × 3 og 18 = 2 × 3^2. De fælles faktorer er 2^1 og 3^1, så GCD = 2 × 3 = 6.

Opdel hvert tal i primfaktorer, og gang derefter alle faktorer med de højeste potenser. For 12 = 2^2 × 3 og 18 = 2 × 3^2 skal du tage 2^2 og 3^2, så LCM = 4 × 9 = 36.

Den euklidiske algoritme finder effektivt GCD ved gentagne gange at dividere og tage rester. For GCD(48,18): 48÷18=2 rest 12, 18÷12=1 rest 6, 12÷6=2 rest 0. Når rest er 0, er den sidste divisor (6) GCD'en.

Koprimtal (også kaldet relativt primtal) har ingen fælles faktorer ud over 1. For koprimtal er GCD = 1 og LCM = deres produkt. For eksempel er 8 og 15 koprimtal: GCD(8,15) = 1 og LCM(8,15) = 120.