Kalkulačka GCD & LCM

GCD, nazývaný také největší společný dělitel (GCF), je největší kladné celé číslo, které dělí obě čísla beze zbytku. Například GCD čísel 12 a 18 je 6, protože 6 je největší číslo, které dělí obě čísla rovnoměrně.

LCM je nejmenší kladné celé číslo, které je dělitelné oběma čísly. Například LCM 4 a 6 je 12, protože 12 je nejmenší číslo dělitelné 4 i 6.

Pro libovolná dvě kladná celá čísla a a b platí: GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b. Tento vztah umožňuje vypočítat LCM, pokud známe GCD, nebo naopak.

GCD je důležitý pro zjednodušování zlomků (dělení čitatele a jmenovatele jejich GCD), řešení diofantovských rovnic a různé aplikace v kryptografii a informatice.

Chcete-li zlomek zjednodušit, vydělte čitatele i jmenovatele jejich GCD. Například pro zjednodušení 24/36: najděte GCD(24,36) = 12, pak oba zlomky vydělte 12 a získáte 2/3. Tím získáte zlomek v jeho nejnižším členění.

LCM se používá při synchronizaci opakujících se událostí. Příkladem může být zjištění, kdy přijedou dva autobusy ve stejnou dobu, určení společných jmenovatelů pro sčítání zlomků, plánování opakujících se úloh nebo plánování, kdy se ozubená kola s různým počtem zubů seřadí.

Každé číslo rozdělte na prvočinitele a pak společné činitele vynásobte nejnižšími mocninami. Například 48 = 2^4 × 3 a 18 = 2 × 3^2. Společnými činiteli jsou 2^1 a 3^1, takže GCD = 2 × 3 = 6.

Každé číslo rozdělte na prvočinitele a pak všechny prvočinitele vynásobte pomocí nejvyšších mocnin. Pro 12 = 2^2 × 3 a 18 = 2 × 3^2 vezměte 2^2 a 3^2, takže LCM = 4 × 9 = 36.

Euklidovský algoritmus efektivně najde GCD opakovaným dělením a braním zbytků. Pro GCD(48,18): Když je zbytek 0, poslední dělitel (6) je GCD. 48÷18=2 zbytek 12, 18÷12=1 zbytek 6, 12÷6=2 zbytek 0.

Koprimární čísla (nazývaná také relativně prvočísla) nemají žádné společné činitele kromě 1. Pro koprimární čísla platí, že GCD = 1 a LCM = jejich součin. Například čísla 8 a 15 jsou koprimární: GCD(8,15) = 1 a LCM(8,15) = 120.