GCD & LCM-Rechner
Berechne mit unserem kostenlosen Online-Rechner den größten gemeinsamen Teiler (GCD) und das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) zweier Zahlen. Der Rechner zeigt auch die Primfaktorzerlegung beider Zahlen an. Unverzichtbar für Lernende in Mathematik und zum Kürzen von Brüchen.
Häufig gestellte Fragen
GCD, auch Greatest Common Factor (GCF) genannt, ist die größte positive ganze Zahl, die beide Zahlen ohne einen Rest teilt. Zum Beispiel ist der GCD von 12 und 18 gleich 6, weil 6 die größte Zahl ist, die beide gleichmäßig teilt.
LCM ist die kleinste positive ganze Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist. Zum Beispiel ist LCM von 4 und 6 gleich 12, weil 12 die kleinste Zahl ist, die sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar ist.
Für zwei beliebige positive ganze Zahlen a und b gilt: GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b. Mit dieser Beziehung kannst du LCM berechnen, wenn du GCD kennst, oder umgekehrt.
GCD ist wichtig für die Vereinfachung von Brüchen (Zähler und Nenner durch ihre GCD teilen), die Lösung diophantischer Gleichungen und verschiedene Anwendungen in der Kryptographie und Informatik.
Um einen Bruch zu kürzen, dividiere Zähler und Nenner durch ihren GCD. Beispiel: Für 24/36 berechnest du zuerst GCD(24,36) = 12 und teilst dann Zähler und Nenner durch 12. Das Ergebnis ist 2/3, also der vollständig gekürzte Bruch.
LCM wird verwendet, um sich wiederholende Ereignisse zu synchronisieren. Beispiele hierfür sind die Feststellung, wann zwei Busse zur gleichen Zeit ankommen, die Bestimmung des gemeinsamen Nenners bei der Addition von Brüchen, die Planung von wiederkehrenden Aufgaben oder die Planung, wann Zahnräder mit unterschiedlichen Zahnzahlen ineinander greifen.
Zerlege jede Zahl in Primfaktoren und multipliziere dann die gemeinsamen Faktoren mit den kleinsten Potenzen. Zum Beispiel: 48 = 2^4 × 3 und 18 = 2 × 3^2. Gemeinsame Faktoren sind 2^1 und 3^1, also GCD = 2 × 3 = 6.
Zerlege jede Zahl in Primfaktoren und multipliziere dann alle Faktoren mit den höchsten Potenzen. Für 12 = 2^2 × 3 und 18 = 2 × 3^2, nimm 2^2 und 3^2, also LCM = 4 × 9 = 36.
Der euklidische Algorithmus findet den GCD effizient durch wiederholtes Dividieren und Reste bilden. Für GCD(48,18): 48÷18=2 Rest 12, 18÷12=1 Rest 6, 12÷6=2 Rest 0. Wenn der Rest 0 ist, ist der letzte Teiler (6) der GCD.
Koprimzahlen (auch relativ prim genannt) haben keine gemeinsamen Faktoren außer 1. Für koprimale Zahlen gilt: GCD = 1 und LCM = ihr Produkt. Ein Beispiel: 8 und 15 sind koprim: GCD(8,15) = 1 und LCM(8,15) = 120.