Logarithmenrechner
Berechne den Logarithmus einer positiven Zahl zu einer beliebigen Basis, darunter die Basis 10, die Basis 2, den natürlichen Logarithmus zur Basis e und gebrochene Basen wie 1/2. Wenn das Ergebnis eine rationale Zahl ist, etwa log zur Basis 4 von 8 = 3/2, ermittelt der Rechner den exakten Wert und weist ihn mit ganzzahligen Potenzen nach. Natürliche, dekadische und binäre Logarithmen werden nebeneinander angezeigt und mit mathjs auf die von dir gewählte Genauigkeit gerundet. Nützlich für Algebra, pH-Wert-Berechnungen und Informatik.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet ein Logarithmus?
Der Logarithmus von x zur Basis b ist der Exponent, mit dem du b potenzieren musst, um x zu erhalten. Der Logarithmus von 1000 zur Basis 10 ist also 3, denn 10^3 = 1000. Die Prüfzeile des Ergebnisses zeigt diesen Potenzzusammenhang für deine Zahlen.
Wie wähle ich die Basis?
Gib die Basis in das Feld „Basis“ ein: standardmäßig 10, 2 für binäre Logarithmen, e für den natürlichen Logarithmus oder eine beliebige positive Zahl außer 1, auch Dezimalzahlen und Brüche wie 0.5 oder 1/2. Die Zahl selbst kommt in das erste Feld. Lasse die Basis leer, um 10 zu verwenden.
Wann ist das Ergebnis exakt?
Das Werkzeug prüft, ob der Logarithmus einem Bruch p/q mit einem Nenner bis 12 entspricht, und bestätigt dies, indem es mit exakter Ganzzahlarithmetik prüft, ob b^p gleich x^q ist. Der Logarithmus von 8 zur Basis 4 wird als exakt 3/2 und der Logarithmus von 8 zur Basis 1/2 als exakt -3 angegeben. Andernfalls wird nur die gerundete Dezimalzahl angezeigt.
Warum muss die Zahl positiv sein?
Keine reelle Potenz einer positiven Basis ergibt null oder eine negative Zahl. Daher ist der Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl keine reelle Zahl. Bei solchen Eingaben meldet das Werkzeug einen Fehler. Komplexe Logarithmen sind im Wissenschaftlichen Rechner verfügbar, in dem ln(-1) einen komplexen Wert ergibt.
Warum darf die Basis nicht 1 sein?
Jede Potenz von 1 ist gleich 1. Daher gibt es keinen Exponenten, mit dem du aus 1 eine andere Zahl erhältst, und der Logarithmus ist nicht definiert. Basen müssen außerdem positiv sein. Das Werkzeug erklärt dies, wenn die Basis ungültig ist.
Was sind ln, log10 und log2?
ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e, ungefähr 2.718, der in der Analysis und in Wachstumsmodellen verwendet wird. log10 ist der dekadische Logarithmus, der für pH-Wert-Berechnungen, Dezibel und Größenordnungen verwendet wird. log2 ist der binäre Logarithmus, der bei Bits und der Komplexität von Algorithmen zum Einsatz kommt. Alle drei werden für jede Zahl angezeigt.
Wie wird der Logarithmus zu einer anderen Basis berechnet?
Für die Basen 10 und 2 werden spezielle Funktionen verwendet, um die bestmögliche Genauigkeit zu erreichen. Bei Basis e kommt der natürliche Logarithmus zum Einsatz; für jede andere Basis wird die Basiswechsel-Formel ln(x) / ln(b) verwendet. Die Ergebnisse sind Gleitkommazahlen mit doppelter Genauigkeit und werden auf die von dir gewählte Anzahl von Dezimalstellen gerundet. Exakte rationale Ergebnisse werden gesondert mit Ganzzahlen geprüft.
Kann das Ergebnis negativ sein?
Ja, bei einer Basis größer als 1 ist der Logarithmus negativ, wenn x zwischen 0 und 1 liegt. So ist der Logarithmus von 0.01 zur Basis 10 gleich -2. Bei einer Basis zwischen 0 und 1 kehren sich die Vorzeichen um. Die Prüfzeile bestätigt den Zusammenhang in beiden Fällen.
Kann ich sehr große oder sehr kleine Zahlen eingeben?
Ja, verwende wissenschaftliche Notation wie 6.02e23 oder 1e-9, solange die Grenzen von Gleitkommazahlen mit doppelter Genauigkeit eingehalten werden. Bei Zahlen mit insgesamt mehr als 40 Ziffern in Zähler und Nenner wird die Erkennung exakter Ergebnisse übersprungen. Das Dezimalergebnis wird trotzdem berechnet.
Wie berechne ich einen Antilogarithmus?
Der Antilogarithmus ist die Potenz b^y und damit die Umkehrung eines Logarithmus. Verwende den Wissenschaftlichen Rechner und gib zum Beispiel 10^2.5 oder e^1.2 ein. Die Prüfzeile hier zeigt die Potenz für den eingegebenen Wert.