حلال المعادلات التربيعية

أدخل المعاملات a وb وc للمعادلة ax^2 + bx + c = 0. بالنسبة إلى x^2 - 3x + 2 = 0، أدخل a = 1 وb = -3 وc = 2. إذا تُركت b أو c فارغة، فستُعامل على أنها 0.

عندما تكون a = 0، يختفي الحد x^2 وتصبح المعادلة خطية، bx + c = 0، وليست تربيعية. تعرض الأداة ذلك بدلًا من القسمة على صفر. استخدم حلال المعادلات للمعادلات الخطية.

المميّز هو b^2 - 4ac. إذا كان موجبًا، فهناك جذران حقيقيان مختلفان؛ وإذا كان صفرًا، فهناك جذر حقيقي مكرر؛ وإذا كان سالبًا، فهناك جذران مركبان مترافقان. تعرض الأداة المميّز الدقيق وتحدد نوع الحالة.

إذا كان المميّز مربعًا كاملًا لعدد نسبي، فستُعرض الجذور على شكل كسور، مثل 2 و1/2. وإلا فستبسط الأداة الجذر التربيعي، لذا تعطي المعادلة 2x^2 - 6x - 4 = 0 النتيجة (3 ± √17) / 2. وتستخدم الجذور المركبة i، كما في -1/2 ± (3/2)i أو (1 ± i√7) / 2.

نعم، تُحوَّل الأعداد العشرية مثل 0.5 أو 1.25 إلى كسور دقيقة قبل إجراء أي حساب، لذا لا يتضمن المميّز أو الجذور الدقيقة أو رأس القطع المكافئ أي خطأ تقريب. تُقرَّب الجذور العشرية فقط، إلى عدد المنازل الذي تختاره. كما تعمل المعاملات المكتوبة بالصيغة العلمية مثل 1e-3.

تُحسب باستخدام القانون التربيعي x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) بأعداد الفاصلة العائمة، وتُقرَّب إلى 6 منازل عشرية افتراضيًا، ويمكن ضبط ذلك من 0 إلى 15. وتُعرض الجذور المركبة على شكل جزء حقيقي مضافًا إليه جزء تخيلي. أما الجذر المكرر فيُدرج مرة واحدة.

رأس القطع المكافئ هو نقطة انعطاف المنحنى y = ax^2 + bx + c، وإحداثياها x = -b / (2a) وy = c - b^2 / (4a). تعرض الأداة الإحداثيين على شكل كسور دقيقة. ويتجه القطع المكافئ إلى الأعلى عندما تكون a موجبة، وإلى الأسفل عندما تكون a سالبة.

عندما يكون المميّز سالبًا، لا يقطع القطع المكافئ محور x، وتتضمن الجذور الوحدة التخيلية i، حيث i^2 = -1. وتأتي الجذور في زوج مترافق، يتكوّن من الجزء الحقيقي مضافًا إليه ومطروحًا منه الجزء التخيلي نفسه. وتظل هذه حلولًا صحيحة ضمن الأعداد المركبة.

يمكن أن يصل طول كل معامل إلى 100 حرفًا، وأن تصل الأسس إلى 300 في الصيغة العلمية. تستخدم الحسابات الدقيقة أعدادًا صحيحة بدقة اعتباطية، لذا تظل المعاملات الكبيرة دقيقة. ولا يُبسَّط الجذر التربيعي بالتحليل إلى عوامل إلا إذا كان العدد تحته لا يتجاوز عشرة مليارات.

عوّض بكل جذر في ax^2 + bx + c، وينبغي أن تكون النتيجة صفرًا، أو قريبة جدًا من الصفر في حالة الجذور العشرية المقربة. مجموع الجذرين يساوي -b / a، وحاصل ضربهما يساوي c / a. وتتيح هذه العلاقات طريقة سريعة للتحقق من الإجابة.