Riešič kvadratických rovníc
Vyriešte rovnicu ax^2 + bx + c = 0 zadaním jej troch koeficientov a získajte diskriminant, typ koreňov aj oba korene ako presné hodnoty a desatinné čísla vrátane komplexných koreňov. Presné korene sa zobrazujú ako zlomky alebo zjednodušené odmocniny, napríklad (3 ± √17) / 4, vypočítané pomocou presnej racionálnej aritmetiky v mathjs. Súčasťou výsledkov je aj vrchol paraboly. Užitočné pri domácich úlohách z algebry, úlohách z fyziky aj pri kontrole ručných výpočtov.
Často kladené otázky
Ako zadám rovnicu?
Zadajte koeficienty a, b a c rovnice ax^2 + bx + c = 0. Pri rovnici x^2 - 3x + 2 = 0 zadajte a = 1, b = -3 a c = 2. Ak je b alebo c prázdne, považuje sa za 0.
Prečo a nemôže byť nula?
Ak a = 0, člen x^2 zmizne a rovnica je lineárna, bx + c = 0, nie kvadratická. Nástroj to oznámi namiesto delenia nulou. Na riešenie lineárnych rovníc použite riešič rovníc.
Čo mi hovorí diskriminant?
Diskriminant je b^2 - 4ac. Ak je kladný, rovnica má dva rôzne reálne korene; ak je nulový, má jeden dvojnásobný reálny koreň; a ak je záporný, má dva komplexne združené korene. Nástroj zobrazí presnú hodnotu diskriminantu a pomenuje príslušný prípad.
Ako sa zapisujú presné korene?
Ak je diskriminant druhou mocninou racionálneho čísla, korene sa zobrazia ako zlomky, napríklad 2 a 1/2. V opačnom prípade nástroj zjednoduší odmocninu, takže pri rovnici 2x^2 - 6x - 4 = 0 dostanete (3 ± √17) / 2. Komplexné korene používajú i, napríklad -1/2 ± (3/2)i alebo (1 ± i√7) / 2.
Spracúvajú sa desatinné koeficienty presne?
Áno, desatinné čísla ako 0.5 alebo 1.25 sa pred výpočtom prevedú na presné zlomky, takže pri diskriminante, presných koreňoch ani vrchole nevzniká chyba zaokrúhlenia. Zaokrúhľujú sa iba desatinné korene, a to na počet miest, ktorý si zvolíte. Fungujú aj koeficienty v exponenciálnom zápise, napríklad 1e-3.
Ako sa vypočítajú desatinné korene?
Vypočítajú sa pomocou kvadratického vzorca x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) v pohyblivej rádovej čiarke a predvolene sa zaokrúhľujú na 6 desatinných miest; počet možno nastaviť od 0 do 15. Komplexné korene sa zobrazia ako súčet reálnej a imaginárnej časti. Dvojnásobný koreň sa uvedie iba raz.
Čo je vrchol paraboly?
Vrchol je bod, v ktorom parabola y = ax^2 + bx + c mení smer; jeho súradnice sú x = -b / (2a) a y = c - b^2 / (4a). Nástroj uvedie obe súradnice ako presné zlomky. Ak je a kladné, parabola sa otvára nahor; ak je záporné, otvára sa nadol.
Čo sú komplexné korene?
Ak je diskriminant záporný, parabola nepretína os x a korene obsahujú imaginárnu jednotku i, pre ktorú platí i^2 = -1. Vyskytujú sa v združenej dvojici: majú rovnakú reálnu časť a imaginárne časti s opačnými znamienkami. Stále sú platnými riešeniami v obore komplexných čísel.
Aké veľké môžu byť koeficienty?
Každý koeficient môže mať až 100 znakov a exponenty v exponenciálnom zápise môžu dosahovať až 300. Pri presnej aritmetike sa používajú celé čísla s ľubovoľnou presnosťou, takže veľké koeficienty zostávajú presné. Odmocnina sa zjednodušuje rozkladom na činitele iba vtedy, keď číslo pod ňou nepresahuje desať miliárd.
Môžem si korene skontrolovať?
Dosadíte každý koreň do výrazu ax^2 + bx + c a výsledkom by mala byť nula, prípadne hodnota veľmi blízka nule pri zaokrúhlených desatinných číslach. Súčet koreňov sa rovná -b / a a ich súčin sa rovná c / a. Tieto vzťahy umožňujú rýchlo skontrolovať výsledok.