Решатель квадратных уравнений

Введите коэффициенты a, b и c уравнения ax^2 + bx + c = 0. Для x^2 - 3x + 2 = 0 введите a = 1, b = -3 и c = 2. Если поле b или c пустое, его значение считается равным 0.

При a = 0 член x^2 исчезает, и уравнение становится линейным: bx + c = 0, а не квадратным. Инструмент сообщает об этом, чтобы не делить на ноль. Для линейных уравнений используйте решатель уравнений.

Дискриминант равен b^2 - 4ac. Если он положительный, есть два различных действительных корня; если равен нулю — один кратный действительный корень; если отрицательный — два комплексных сопряжённых корня. Инструмент показывает точное значение дискриминанта и указывает соответствующий случай.

Если дискриминант является точным квадратом рационального числа, корни показываются в виде дробей, например 2 и 1/2. В противном случае инструмент упрощает квадратный корень: например, для 2x^2 - 6x - 4 = 0 получаем (3 ± √17) / 2. Комплексные корни записываются с i, например -1/2 ± (3/2)i или (1 ± i√7) / 2.

Да, десятичные дроби, например 0.5 или 1.25, перед вычислениями преобразуются в точные дроби, поэтому дискриминант, точные корни и вершина не содержат ошибок округления. Округляются только десятичные корни — до выбранного вами количества знаков. Также поддерживаются коэффициенты в научной нотации, например 1e-3.

Они вычисляются с плавающей точкой по формуле квадратного уравнения x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) и по умолчанию округляются до 6 знаков после запятой; можно выбрать от 0 до 15. Комплексные корни показываются как сумма действительной и мнимой частей. Кратный корень указывается один раз.

Вершина — это точка поворота параболы y = ax^2 + bx + c; её координаты: x = -b / (2a) и y = c - b^2 / (4a). Инструмент приводит обе координаты в виде точных дробей. Если a положительно, парабола направлена ветвями вверх, если отрицательно — вниз.

Когда дискриминант отрицателен, парабола не пересекает ось x, а корни содержат мнимую единицу i, где i^2 = -1. Они образуют сопряжённую пару: действительная часть плюс и минус одна и та же мнимая часть. Это допустимые решения в множестве комплексных чисел.

Длина каждого коэффициента может составлять до 100 символов; в научной нотации показатель степени может достигать 300. Для точной арифметики используются целые числа произвольной точности, поэтому большие коэффициенты сохраняют точность. Квадратный корень упрощается разложением на множители, только если подкоренное число не превышает десяти миллиардов.

Подставьте каждый корень в ax^2 + bx + c: результат должен быть равен нулю или очень близок к нему для округлённых десятичных значений. Сумма корней равна -b / a, а их произведение — c / a. Эти соотношения позволяют быстро проверить ответ.