二次方程式ソルバー
3つの係数から ax^2 + bx + c = 0 を解き、判別式、根の種類、2つの根を厳密値と小数で求めます。複素数の根にも対応しています。厳密な根は分数、または (3 ± √17) / 4 のような簡約された根号式で表示され、mathjs の厳密な有理数演算で計算されます。放物線の頂点も表示します。代数の宿題や物理の問題、手計算の確認に便利です。
よくある質問
方程式はどのように入力しますか？
ax^2 + bx + c = 0 の係数 a、b、c を入力します。x^2 - 3x + 2 = 0 の場合は、a = 1、b = -3、c = 2 と入力してください。b または c が空欄の場合は0として扱われます。
a を0にできないのはなぜですか？
a = 0 では x^2 の項がなくなり、方程式は二次方程式ではなく一次方程式 bx + c = 0 になります。ツールは0で除算する代わりに、そのことを表示します。一次方程式には方程式ソルバーを使用してください。
判別式から何がわかりますか？
判別式は b^2 - 4ac です。正の場合は異なる実数根が2つ、0の場合は重複する実数根が1つ、負の場合は複素共役根が2つあります。ツールは判別式の厳密値と該当するケースを表示します。
厳密な根はどのように表されますか？
判別式が有理数の完全平方数である場合、根は2や1/2のような分数で表示されます。それ以外の場合、ツールは平方根を簡約するため、2x^2 - 6x - 4 = 0 の解は (3 ± √17) / 2 となります。複素数の根は i を使い、-1/2 ± (3/2)i または (1 ± i√7) / 2 のように表します。
小数の係数も厳密に扱われますか？
はい。0.5 や 1.25 のような小数は、計算前に厳密な分数へ変換されるため、判別式、厳密な根、頂点に丸め誤差はありません。丸められるのは小数の根だけで、桁数は選択できます。1e-3 のような科学表記の係数も使用できます。
小数の根はどのように計算されますか？
浮動小数点演算で二次方程式の解の公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) を使い、デフォルトでは小数点以下6桁に丸めます。桁数は0～15桁に変更できます。複素数の根は実部と虚部の和として表示されます。重根は1回だけ表示されます。
頂点とは何ですか？
頂点は放物線 y = ax^2 + bx + c の折り返し点で、座標は x = -b / (2a)、y = c - b^2 / (4a) です。ツールは両方の座標を厳密な分数で表示します。a が正の場合、放物線は上に開き、負の場合は下に開きます。
複素数の根とは何ですか？
判別式が負の場合、放物線は x 軸と交わらず、根には虚数単位 i が含まれます。i^2 = -1 です。根は共役のペアになり、実部に同じ虚部を足したものと引いたものになります。複素数の範囲では有効な解です。
係数の大きさに上限はありますか？
各係数は100文字までで、科学表記の指数は300までです。厳密演算では任意精度整数を使うため、大きな係数も厳密に保たれます。平方根の簡約で因数分解を行うのは、根号内の数が100億以下の場合に限られます。
自分で根を確認できますか？
各根を ax^2 + bx + c に代入すると、結果は0になります。小数に丸めた場合は、0に非常に近い値になります。根の和は -b / a、積は c / a です。これらの関係を使うと、答えを手早く確認できます。