Řešič kvadratických rovnic

Zadejte koeficienty a, b a c rovnice ax^2 + bx + c = 0. Pro x^2 - 3x + 2 = 0 zadejte a = 1, b = -3 a c = 2. Pokud pole b nebo c necháte prázdné, považuje se za 0.

Je-li a = 0, člen x^2 zmizí a rovnice bx + c = 0 je lineární, nikoli kvadratická. Nástroj na to upozorní, místo aby dělil nulou. Lineární rovnice vyřešíte pomocí řešiče rovnic.

Diskriminant je b^2 - 4ac. Je-li kladný, existují dva různé reálné kořeny; je-li nulový, existuje jeden dvojnásobný reálný kořen; je-li záporný, existují dva komplexní sdružené kořeny. Nástroj zobrazí přesný diskriminant a pojmenuje příslušný případ.

Je-li diskriminant druhou mocninou racionálního čísla, kořeny se zobrazí jako zlomky, například 2 a 1/2. Jinak nástroj odmocninu zjednoduší, takže pro 2x^2 - 6x - 4 = 0 dostanete (3 ± √17) / 2. Komplexní kořeny používají i, například -1/2 ± (3/2)i nebo (1 ± i√7) / 2.

Ano, desetinná čísla jako 0.5 nebo 1.25 se před výpočtem převedou na přesné zlomky, takže u diskriminantu, přesných kořenů a vrcholu nedochází k zaokrouhlovací chybě. Zaokrouhlují se pouze desetinné kořeny, a to na vámi zvolený počet míst. Fungují také koeficienty ve vědeckém zápisu, například 1e-3.

Počítají se pomocí kvadratického vzorce x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) v plovoucí řádové čárce a ve výchozím nastavení se zaokrouhlují na 6 desetinných míst; lze zvolit 0 až 15. Komplexní kořeny se zobrazují jako reálná část plus imaginární část. Dvojnásobný kořen se uvádí pouze jednou.

Vrchol je bod obratu paraboly y = ax^2 + bx + c, který má souřadnice x = -b / (2a) a y = c - b^2 / (4a). Nástroj zobrazí obě souřadnice jako přesné zlomky. Parabola se otevírá nahoru, když je a kladné, a dolů, když je a záporné.

Je-li diskriminant záporný, parabola neprotíná osu x a kořeny obsahují imaginární jednotku i, pro kterou platí i^2 = -1. Vyskytují se jako komplexně sdružená dvojice: reálná část plus a minus stejná imaginární část. Jde stále o platná řešení v komplexních číslech.

Každý koeficient může mít až 100 znaků a exponenty ve vědeckém zápisu mohou dosahovat až 300. Přesná aritmetika používá celá čísla s libovolnou přesností, takže velké koeficienty zůstávají přesné. Odmocnina se rozkladem zjednodušuje pouze tehdy, když je číslo pod ní nejvýše deset miliard.

Dosadíte-li každý kořen do výrazu ax^2 + bx + c, výsledek by měl být nula, případně velmi blízko nule u zaokrouhlených desetinných čísel. Součet kořenů se rovná -b / a a jejich součin se rovná c / a. Tyto vztahy umožňují rychlou kontrolu výsledku.