Розв’язувач квадратних рівнянь

Введіть коефіцієнти a, b і c рівняння ax^2 + bx + c = 0. Для x^2 - 3x + 2 = 0 введіть a = 1, b = -3 та c = 2. Якщо b або c не вказано, вважається, що це 0.

Якщо a = 0, член x^2 зникає, і рівняння стає лінійним: bx + c = 0, а не квадратним. Інструмент повідомляє про це замість ділення на нуль. Для лінійних рівнянь скористайтеся Розв’язувачем рівнянь.

Дискримінант дорівнює b^2 - 4ac. Якщо він додатний, є два різні дійсні корені; якщо дорівнює нулю — один повторний дійсний корінь; якщо від’ємний — два комплексні спряжені корені. Інструмент показує точне значення дискримінанта та назву відповідного випадку.

Якщо дискримінант є точним квадратом раціонального числа, корені показуються у вигляді дробів, наприклад 2 та 1/2. Інакше інструмент спрощує квадратний корінь, тож для 2x^2 - 6x - 4 = 0 отримуємо (3 ± √17) / 2. Комплексні корені містять i, як-от -1/2 ± (3/2)i або (1 ± i√7) / 2.

Так, десяткові числа, як-от 0.5 або 1.25, перед обчисленнями перетворюються на точні дроби, тому дискримінант, точні корені та вершина не мають похибки округлення. Округлюються лише десяткові значення коренів — до вибраної кількості знаків. Також працюють коефіцієнти в науковій нотації, як-от 1e-3.

Вони обчислюються за квадратною формулою x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) із плаваючою комою та за замовчуванням округлюються до 6 знаків після коми; можна вибрати від 0 до 15. Комплексні корені показуються як сума дійсної та уявної частин. Повторний корінь указується один раз.

Вершина — це точка повороту параболи y = ax^2 + bx + c, її координати: x = -b / (2a) та y = c - b^2 / (4a). Інструмент подає обидві координати у вигляді точних дробів. Парабола відкривається вгору, якщо a додатне, і вниз, якщо a від’ємне.

Коли дискримінант від’ємний, парабола не перетинає вісь x, а корені містять уявну одиницю i, де i^2 = -1. Вони утворюють спряжену пару: дійсна частина плюс і мінус однакова уявна частина. Це все одно правильні розв’язки в комплексних числах.

Кожен коефіцієнт може містити до 100 символів, а показники степеня в науковій нотації можуть сягати 300. У точній арифметиці використовуються цілі числа довільної точності, тому великі коефіцієнти залишаються точними. Квадратний корінь спрощується розкладанням на множники, лише якщо підкореневе число не перевищує десяти мільярдів.

Підставте кожен корінь у ax^2 + bx + c — результат має дорівнювати нулю або бути дуже близьким до нього для округлених десяткових значень. Сума коренів дорівнює -b / a, а їхній добуток — c / a. Ці співвідношення дають змогу швидко перевірити відповідь.