Rozwiązywanie równań kwadratowych

Wprowadź współczynniki a, b i c równania ax^2 + bx + c = 0. Dla równania x^2 - 3x + 2 = 0 wpisz a = 1, b = -3 i c = 2. Jeśli pole b lub c pozostanie puste, jego wartość zostanie uznana za 0.

Gdy a = 0, składnik x^2 znika i równanie jest liniowe: bx + c = 0, a nie kwadratowe. Narzędzie informuje o tym zamiast dzielić przez zero. W przypadku równań liniowych użyj narzędzia do rozwiązywania równań.

Wyróżnik to b^2 - 4ac. Jeśli jest dodatni, istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste; jeśli wynosi zero, istnieje jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty; jeśli jest ujemny, istnieją dwa sprzężone pierwiastki zespolone. Narzędzie wyświetla dokładną wartość wyróżnika i określa przypadek.

Jeśli wyróżnik jest kwadratem liczby wymiernej, pierwiastki są wyświetlane jako ułamki, na przykład 2 i 1/2. W przeciwnym razie narzędzie upraszcza pierwiastek kwadratowy, więc równanie 2x^2 - 6x - 4 = 0 daje (3 ± √17) / 2. Pierwiastki zespolone zawierają i, na przykład -1/2 ± (3/2)i lub (1 ± i√7) / 2.

Tak, liczby dziesiętne takie jak 0.5 lub 1.25 są zamieniane na dokładne ułamki przed wykonaniem obliczeń, więc wyróżnik, dokładne pierwiastki i wierzchołek nie zawierają błędów zaokrąglenia. Zaokrąglane są tylko wartości dziesiętne pierwiastków, do wybranej przez Ciebie liczby miejsc. Działają też współczynniki w notacji naukowej, takie jak 1e-3.

Są obliczane zmiennoprzecinkowo ze wzoru kwadratowego x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) i domyślnie zaokrąglane do 6 miejsc po przecinku; możesz ustawić od 0 do 15. Pierwiastki zespolone są wyświetlane jako część rzeczywista plus część urojona. Podwójny pierwiastek jest podawany tylko raz.

Wierzchołek to punkt zwrotny paraboli y = ax^2 + bx + c, o współrzędnych x = -b / (2a) i y = c - b^2 / (4a). Narzędzie podaje obie współrzędne jako dokładne ułamki. Parabola jest skierowana ramionami w górę, gdy a jest dodatnie, i w dół, gdy a jest ujemne.

Gdy wyróżnik jest ujemny, parabola nie przecina osi x, a pierwiastki zawierają jednostkę urojoną i, gdzie i^2 = -1. Występują w parze sprzężonej: część rzeczywista oraz ta sama część urojona ze znakiem plus i minus. Nadal są prawidłowymi rozwiązaniami w zbiorze liczb zespolonych.

Każdy współczynnik może mieć maksymalnie 100 znaków, a wykładniki w notacji naukowej mogą wynosić maksymalnie 300. Dokładne obliczenia używają liczb całkowitych o dowolnej precyzji, więc duże współczynniki pozostają dokładne. Pierwiastek kwadratowy jest upraszczany przez rozkład na czynniki tylko wtedy, gdy liczba pod nim nie przekracza dziesięciu miliardów.

Podstaw każdy pierwiastek do ax^2 + bx + c; wynik powinien wynosić zero lub być bardzo bliski zeru w przypadku zaokrąglonych wartości dziesiętnych. Suma pierwiastków jest równa -b / a, a ich iloczyn — c / a. Te zależności pozwalają szybko sprawdzić wynik.