Löser für quadratische Gleichungen
Löse ax^2 + bx + c = 0 anhand der drei Koeffizienten und erhalte die Diskriminante, die Art der Nullstellen sowie beide Nullstellen als exakte Werte und Dezimalzahlen, auch bei komplexen Nullstellen. Exakte Nullstellen werden als Brüche oder vereinfachte Wurzelausdrücke wie (3 ± √17) / 4 angezeigt und mit exakter rationaler Arithmetik in mathjs berechnet. Der Scheitelpunkt der Parabel ist ebenfalls enthalten. Nützlich für Algebra-Hausaufgaben, Physikaufgaben und zum Überprüfen handschriftlicher Rechnungen.
Häufig gestellte Fragen
Wie gebe ich die Gleichung ein?
Gib die Koeffizienten a, b und c von ax^2 + bx + c = 0 ein. Für x^2 - 3x + 2 = 0 gib a = 1, b = -3 und c = 2 ein. Wenn b oder c leer ist, wird der Wert als 0 behandelt.
Warum darf a nicht null sein?
Bei a = 0 fällt der x^2-Term weg und die Gleichung ist linear: bx + c = 0, nicht quadratisch. Das Werkzeug meldet dies, statt durch null zu teilen. Verwende für lineare Gleichungen den Gleichungslöser.
Was sagt mir die Diskriminante?
Die Diskriminante ist b^2 - 4ac. Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen; ist sie null, gibt es eine doppelte reelle Nullstelle; ist sie negativ, gibt es zwei komplex konjugierte Nullstellen. Das Werkzeug zeigt die exakte Diskriminante an und benennt den Fall.
Wie werden exakte Nullstellen angegeben?
Wenn die Diskriminante das Quadrat einer rationalen Zahl ist, werden die Nullstellen als Brüche angezeigt, zum Beispiel 2 und 1/2. Andernfalls vereinfacht das Werkzeug die Wurzel. Für 2x^2 - 6x - 4 = 0 ergibt sich also (3 ± √17) / 2. Komplexe Nullstellen verwenden i, etwa -1/2 ± (3/2)i oder (1 ± i√7) / 2.
Werden Dezimalkoeffizienten exakt verarbeitet?
Ja, Dezimalzahlen wie 0.5 oder 1.25 werden vor jeder Berechnung in exakte Brüche umgewandelt. Daher sind Diskriminante, exakte Nullstellen und Scheitelpunkt frei von Rundungsfehlern. Nur die Dezimalwerte der Nullstellen werden auf die von dir gewählte Stellenzahl gerundet. Koeffizienten in wissenschaftlicher Schreibweise wie 1e-3 funktionieren ebenfalls.
Wie werden die Dezimalwerte der Nullstellen berechnet?
Sie werden mit der Mitternachtsformel x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) in Gleitkommaarithmetik berechnet und standardmäßig auf 6 Dezimalstellen gerundet. Du kannst eine Zahl zwischen 0 und 15 einstellen. Komplexe Nullstellen werden als Realteil plus Imaginärteil angezeigt. Eine doppelte Nullstelle wird nur einmal aufgeführt.
Was ist der Scheitelpunkt?
Der Scheitelpunkt ist der Wendepunkt der Parabel y = ax^2 + bx + c bei x = -b / (2a) und y = c - b^2 / (4a). Das Werkzeug gibt beide Koordinaten als exakte Brüche an. Bei positivem a ist die Parabel nach oben geöffnet, bei negativem a nach unten.
Was sind komplexe Nullstellen?
Ist die Diskriminante negativ, schneidet die Parabel die x-Achse nicht und die Nullstellen enthalten die imaginäre Einheit i mit i^2 = -1. Sie treten als konjugiertes Paar auf: Realteil plus und minus derselbe Imaginärteil. Sie sind dennoch gültige Lösungen in den komplexen Zahlen.
Wie groß dürfen die Koeffizienten sein?
Jeder Koeffizient darf bis zu 100 Zeichen lang sein; Exponenten in wissenschaftlicher Schreibweise dürfen bis zu 300 betragen. Für exakte Berechnungen werden Ganzzahlen mit beliebiger Genauigkeit verwendet, sodass auch große Koeffizienten exakt bleiben. Die Wurzel wird nur dann durch Faktorisierung vereinfacht, wenn der Radikand höchstens zehn Milliarden beträgt.
Kann ich die Nullstellen selbst überprüfen?
Setze jede Nullstelle in ax^2 + bx + c ein. Das Ergebnis sollte null oder bei gerundeten Dezimalwerten sehr nahe an null sein. Die Summe der Nullstellen ist -b / a und ihr Produkt c / a. Mit diesen Beziehungen kannst du ein Ergebnis schnell überprüfen.