حاسبة التباديل والتوافيق
احسب ترتيبات واختيارات r عنصرًا من n بنتائج دقيقة: التباديل nPr، والتوافيق nCr، والتباديل مع التكرار n^r، والتوافيق مع التكرار C(n + r - 1, r). أدخل أعدادًا صحيحة حتى 1000 واحصل على كل نتيجة كعدد صحيح دقيق، مع عرض النتائج الطويلة جدًا أيضًا بالترميز العلمي وعدد أرقامها. مفيدة للاحتمالات وفرص الفوز باليانصيب وكلمات المرور وواجبات التوافقيات.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التبديل والتوفيق؟
يحسب التبديل الترتيبات المرتبة، لذا فإن اختيار A ثم B يختلف عن اختيار B ثم A. أما التوفيق فيحسب الاختيارات غير المرتبة، حيث تهم المجموعة المختارة فقط. لذلك تكون nPr دائمًا مساوية لـ nCr أو أكبر منها، وتساوي nPr حاصل ضرب nCr في مضروب r.
ما الصيغ المستخدمة؟
nPr = factorial(n) / factorial(n - r)، وnCr = nPr / factorial(r)، والتباديل مع التكرار هي n^r، والتوافيق مع التكرار هي C(n + r - 1, r). تُحسب النتائج باستخدام حساب صحيح دقيق، وليس باستخدام قيم المضروب بالفاصلة العائمة. وتُعرض الصيغ أسفل النتائج.
متى أستخدم التكرار؟
استخدم التباديل مع التكرار عندما يمكن إعادة استخدام العناصر ويكون الترتيب مهمًا، مثل رمز PIN من 4 أرقام مختارة من 10 أرقام، ما ينتج عنه 10^4 = 10,000 احتمالًا. واستخدم التوافيق مع التكرار عندما يمكن إعادة استخدام العناصر ولا يكون الترتيب مهمًا، مثل اختيار 3 كرات من 5 نكهات آيس كريم، ما يعطي C(7, 3) = 35.
ماذا يحدث عندما تكون r أكبر من n؟
من دون تكرار، لا يمكنك اختيار عناصر أكثر مما هو متاح، لذا تكون nPr وnCr مساويتين لـ 0. ومع التكرار، يمكن أن تتجاوز r قيمة n، وتظل كلتا نتيجتي العد مع التكرار محسوبتين. مثلًا، اختيار عنصرين 5 مرات مع التكرار يعطي 2^5 = 32 نتيجة مرتبة.
ما أكبر قيمتين يمكن إدخالهما لـ n وr؟
يمكن أن تكون كلتا القيمتين عددين صحيحين من 0 إلى 1000. وقد تظل النتائج هائلة، إذ إن 1000^1000 يتكون من 3001 رقمًا، لذلك تحسبها الأداة باستخدام أعداد صحيحة بدقة اعتباطية. وتُعرض القيم التي يزيد طولها على 100 رقمًا بالترميز العلمي مع العدد الدقيق لأرقامها.
كيف أحسب فرص الفوز باليانصيب؟
في يانصيب تُسحب فيه 6 أرقام من أصل 49 ولا يكون الترتيب مهمًا، أدخل n = 49 وr = 6 واقرأ قيمة nCr، وهي 13,983,816. احتمال مطابقة الأرقام الستة بتذكرة واحدة هو 1 من هذا العدد. أضف الأرقام الإضافية بضرب النتيجة في عدد توافيقها.
ماذا يحدث عند اختيار صفر من العناصر؟
بحسب الاصطلاح، مضروب 0 يساوي 1، وهناك طريقة واحدة بالضبط لعدم اختيار أي شيء، لذا فإن nP0 = nC0 = 1 لأي قيمة n. كذلك n^0 = 1، بما في ذلك 0^0، وهو الاصطلاح القياسي في التوافقيات. تتبع الأداة هذه الاصطلاحات.
لماذا تكون نتائج nCr متماثلة؟
اختيار r عنصرًا لأخذها يعادل اختيار n - r عنصرًا لتركها، لذا فإن C(n, r) = C(n, n - r). مثلًا، كل من C(10, 3) وC(10, 7) يساوي 120. تستخدم الأداة هذا التماثل لحساب التوافيق الكبيرة بسرعة أكبر.
هل يمكنني استخدام أعداد عشرية أو سالبة؟
لا، يجب أن تكون n وr عددين صحيحين غير سالبين، لأنهما يعدّان العناصر. تُرفض المدخلات العشرية أو السالبة مع عرض رسالة. استخدم الحاسبة العلمية لدالة غاما والمضروبات غير الصحيحة.
ما مدى دقة النتائج؟
كل نتيجة عد دقيقة حتى آخر رقم، لأن الأداة تضرب وتقسم أعدادًا صحيحة بدقة اعتباطية. تُعرض النتائج التي لا يتجاوز طولها 100 رقمًا كاملةً. أما النتائج الأطول، فتُعرض أرقامها الأولى كقوة للعدد عشرة مع إجمالي عدد الأرقام.