順列・組み合わせ計算機
n個からr個を並べる方法と選ぶ方法を、正確に数えます。順列nPr、組み合わせnCr、重複順列n^r、重複組み合わせC(n + r - 1, r)に対応しています。1000までの整数を入力すると、各個数を正確な整数で取得できます。非常に長い結果は、桁数とともに科学表記でも表示されます。確率、宝くじの当選確率、パスワード、組み合わせ論の宿題に役立ちます。
よくある質問
順列と組み合わせの違いは何ですか？
順列は順序のある並べ方を数えるため、Aを選んでからBを選ぶ場合と、Bを選んでからAを選ぶ場合は異なります。組み合わせは順序のない選び方を数え、選んだ集合だけが重要です。そのため、nPrは常にnCr以上となり、nPrはnCrにrの階乗を掛けた値に等しくなります。
どの公式を使っていますか？
nPr = factorial(n) / factorial(n - r)、nCr = nPr / factorial(r)、重複順列はn^r、重複組み合わせはC(n + r - 1, r)です。結果は浮動小数点数の階乗を使わず、正確な整数演算で計算されます。公式は結果の下に記載されています。
重複を考慮するのはどのような場合ですか？
項目を再利用でき、順序が重要な場合は、重複順列を使います。たとえば、10個の数字から作る4桁のPINは、10^4 = 10,000通りです。項目を再利用できても順序が重要でない場合は、重複組み合わせを使います。たとえば、5種類のアイスクリームから3スクープを選ぶ方法は、C(7, 3) = 35通りです。
rがnより大きい場合はどうなりますか？
重複なしでは、存在する項目数を超えて選べないため、nPrとnCrは0になります。重複ありではrがnを超えてもよく、どちらの数も計算されます。たとえば、2つの項目を重複ありで5回選ぶと、順序のある結果は2^5 = 32通りです。
nとrはどこまで大きくできますか？
どちらも0から1000までの整数を指定できます。1000^1000のように、結果が3001桁になるほど非常に大きくなることもあるため、このツールでは任意精度整数を使って計算します。100桁を超える値は、正確な桁数とともに科学表記で表示されます。
宝くじの当選確率はどう計算しますか？
49個の数字から6個を順序を問わず選ぶ宝くじなら、n = 49、r = 6を入力し、nCrを確認します。値は13,983,816です。1枚のくじで6個すべて一致する確率は、その数分の1です。ボーナス数字がある場合は、それぞれの組み合わせ数を掛け合わせてください。
選ぶ項目数が0の場合はどうなりますか？
慣例により0の階乗は1であり、何も選ばない方法はちょうど1通りなので、どのnについてもnP0 = nC0 = 1です。また、0^0を含め、n^0 = 1です。これは組み合わせ論で標準的な慣例です。このツールもこれらの慣例に従います。
nCrの結果が対称になるのはなぜですか？
r個を選ぶことは、n - r個を残すことと同じなので、C(n, r) = C(n, n - r)です。たとえば、C(10, 3)とC(10, 7)はどちらも120です。このツールはこの対称性を利用して、大きな組み合わせをより速く計算します。
小数や負の数を使えますか？
いいえ。nとrは項目数を表すため、0以上の整数である必要があります。小数や負の値を入力すると、メッセージが表示されて拒否されます。ガンマ関数や非整数の階乗には、Scientific Calculatorを使ってください。
結果の正確さはどの程度ですか？
任意精度整数を掛けたり割ったりして計算するため、すべての数は最後の桁まで正確です。100桁までの結果は全桁表示されます。それより長い結果は、先頭の桁を10の累乗として表示し、桁数も併記します。